Единственность представления Фурье

Question

Я начал читать об анализе Фурье. Я как раз читал об уникальности представления Фурье. По-видимому, если ряд Фурье$\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}c_n e^{2\pi i n x}$ равномерно сходится к $f(x)$ тогда значения $c_n$ вынуждены быть ценностью $\hat{f}(n)=\int_0^1 f(x)e^{-2 \pi n x}dx$. Об этом говорится так, будто это было очевидно, но я не могу понять почему. Я не понимаю, как действует равномерное сближение.

Answer 1

Из равномерной сходимости следует, что $$\int_0^1 e^{-2i\pi kx}\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}c_n e^{2\pi i n x}dx=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}} \int_0^1 e^{-2i\pi kx}c_n e^{2\pi i n x}dx = c_k$$