Эквивалентны ли эти две метрики?

Question

Позволять $d_1$ и $d_2$ быть метрикой в ​​пространстве $X$. Предположим, что для любой последовательности$\{x_n\}_{n=1}^\infty \subset X$ и указать $x_0 \in X$ у нас есть это $$ \lim_{n \to \infty}d_1(x_n,x_0)=0 \iff \lim_{n \to \infty}d_2(x_n,x_0)=0. $$ Можно ли сделать вывод, что метрики $d_1$ и $d_2$эквивалентны, т. е. индуцируют одну и ту же (метрическую) топологию? У меня возникнет соблазн банально сказать «да», поскольку пробелы$(X,d_1)$ и $(X,d_2)$гомеоморфны, изоморфизм задается тождественной функцией. Я что-то упускаю?

Answer 1

Метрики $d_1,d_2$ на $X$ эквивалентны тогда и только тогда $\textrm{id}_X: (X,d_1) \to (X,d_2)$ является гомеоморфизмом.

И критерий последовательной непрерывности $\textrm{id}_X$применяется данным свойством в обоих направлениях. Итак, идея у вас хорошая; просто сформулируйте это точнее.

Еще одно наблюдение: в любой метрической топологии $O$ открыто если и только если

$$\forall x \in O: \text{ for all sequences } (x_n)_n \text{ in } X: (x_n \to x) \implies (\exists N \in \Bbb N: \forall n \ge N: x_n \in O)$$

и так как $d_1$ и $d_2$имеют одинаковые сходящиеся последовательности, у них одинаковые открытые множества, поэтому они эквивалентны. Возможна также вариация этого для закрытых множеств.

Answer 2

Вы ничего не упускаете. Замкнутые множества одинаковы для двух метрик, поскольку множество замкнуто тогда и только тогда, когда ему принадлежит предел любой последовательности из него. Следовательно, две метрики имеют одинаковые замкнутые множества (и, следовательно, одни и те же открытые множества).