Элементарный пример для неопределенной формы $1^\infty$

Question

Я разговариваю по математике с одаренным учеником средней школы, который еще даже не видел логарифмов в классе. (Мы успешно внедрили бревна как средство, обратное возведению в степень.) Она заинтригована этим видео и неопределенными формами. Мы обсудили, как "$1^\infty$"действительно то же самое, что"$0/0$".

Теперь я хотел бы обсудить пример "$1^\infty$". К сожалению, каждый пример, который я могу придумать, и все, что я нахожу в Интернете, используют это$\frac{\ln(1+t)}{t}\to 1$ так как $t\to 0$, который является либо « общеизвестным фактом », либо применением правила Л'Оспиталя - оба из которых я нахожу неудовлетворительными.

Есть нетривиальный пример для "$1^\infty$"неопределенная форма (а значит, не только $1^t$ для $t\to\infty$), который можно проанализировать, используя только определение логарифма как функцию, обратную возведению в степень, без исчислений или фактов, которые мне нужно было бы вытащить из шляпы?

Answer 1

Кто может забыть классический пример:

$\underset{n\to\infty}{\lim}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$?

Если мы расширим $(1+\dfrac{1}{n})^{n}$ с биномиальной теоремой и сравните члены с соответствующими степенями $1/n$ для разных значений $n$, мы находим, что эта функция возрастает как $n$ неограниченно возрастает, но функция ограничена сходящимся рядом

$1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...$

Таким образом, предел гарантированно существует и, таким образом, определяется как $e$, откуда правило $[\ln(1+x)]/x\to1$ так как $x\to 0$ следует.

Answer 2

Почему бы просто не исправить $k>0$ (например $k=2$) и посмотрите на $(k^{1/n})^n$?

Интуитивно понятно, что $k^{1/n}=\sqrt[n]{k}\to 1$ так как $n\to\infty$; с другой стороны, ясно$n\to\infty$ когда $n\to\infty$. Таким образом, у вас есть случай$1^\infty$ который фактически сходится к $k$ (а не просто сходится к $k$но постоянно ), которую вы выбрали произвольно для начала.

Теперь это легко расширить с помощью $(k^{1/n})^{n^2}=k^n$ или $(k^{1/{n^2}})^n=k^{1/n}$, которые сходятся к $0$ и $\infty$ (в некотором порядке, пока $k\ne 1$).

Answer 3

Мы ищем $f,\,g$ с участием $f\to1,\,g\to\infty$скажи как $x\to0$, так что $f^g$ может иметь любой предел $L\in[0,\,\infty]$или нет. Примеры:

• $f=e^{x^2},\,g=x^{-2}\ln L$ для $L>1$
• $f=e^{-x^2},\,g=-x^{-2}\ln L$ для $L\in(0,\,1)$
• $f=e^{x^4},\,g=x^{-2}$ для $L=1$
• $f=e^{-x^2},\,g=x^{-4}$ для $L=0$
• $f=e^{-x^4},\,g=x^{-2}$ для $L=\infty$
• $f=e^{x^2\sin(1/x)},\,g=x^{-2}$ для $\lim_{x\to0}f^g$ быть неопределенным.

Замена $(f,\,g)\mapsto(1/f,\,-g)$ показывает $1^{-\infty}$ работает одинаково, но никто не перечисляет это отдельно.