Есть ли выражение в закрытой форме для $\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n^3})$?

Question

Я хотел бы спросить, если для $|x|<1$, мы можем выразить продукт $\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n^3})$ как функция $f(x)$. Я пытался использовать теорему факторизации Вейерштрасса, но без особого успеха.

Я был бы очень признателен за ссылку или решение.

Answer 1

Как уже было замечено в комментариях, выражение можно получить из бесконечных произведений для $\Gamma$(либо Эйлера , либо Вейерштрасса ):$$\Gamma(1+z)=\prod_{n=1}^\infty\frac{(1+1/n)^z}{1+z/n}=e^{-\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\frac{e^{z/n}}{1+z/n},$$ и "алгебраический" $1-x/n^3=(1-x^{1/3}/n)(1-e^{2\pi i/3}x^{1/3}/n)(1-e^{-2\pi i/3}x^{1/3}/n)$, давая $$\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{x}{n^3}\right)=\Big(\Gamma(1-x^{1/3})\Gamma(1-e^{2\pi i/3}x^{1/3})\Gamma(1-e^{-2\pi i/3}x^{1/3})\Big)^{-1}.$$Это легко применимо к более общим «рациональным бесконечным продуктам», как описано здесь .

Answer 2

Комментарий:

Границу этого произведения можно найти с помощью неравенства Вейерштрассна:

Если $a_1, a_2, a_3, \ldots,a_n$ являются действительными натуральными числами меньше единицы, и:

$S_n=(a_1+a_2+a_3+ \cdots+a_n)<1$

тогда:

$1-S_n<(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3) \cdots (1-a_n)<\frac 1 {1+S_n}$

Куда можно пустить:

$a_n=\frac x {n^3}$