Функции плотности массы: какова плотность массы в точках?
Мы часто обсуждаем плотность массы, плотность заряда и другие подобные функции: $\rho(x,y)$ для ультратонких пластин и $\rho(x,y,z)$для 3-х объектов. Единицы вывода этих функций говорят о массе или заряде / единице объема, например$\frac{kg}{m^3}$ или же $\frac{C}{m^3}$. Я не могу постичь плотность в одной точке.
Я подозреваю, что когда мы говорим о массе на единицу объема «в точке», мы имеем в виду массу, содержащуюся в объеме непосредственно вокруг точки. Здесь мы говорим «сразу вокруг» в математическом смысле, так что объем приближается к нулю. Таким образом, набор всех точек вместе остается полным объектом.
Это верно? Или я промахнулся?
Ответы
Когда мы говорим, что плотность массы равна $\rho(x,y,z)$, мы имеем в виду, что масса в любой конечной области $R$ дан кем-то $$ M(R) = \int_R \rho(x,y,z)\ dx\,dy\,dz. $$ Другими словами, задав плотность массы $\rho(x,y,z)$ это краткий способ описания функции, которая принимает область $R$ в качестве ввода и возвращает массу $M(R)$ в этом регионе как выход.
Регион $R$может быть сколь угодно малым, значит, ваша интуиция на правильном пути. Если мы возьмем$R$быть точкой , то масса$M(R)$ равна нулю, независимо от того, насколько большой может быть массовая плотность (пока она конечна).
Вещество (составляющее массу) дискретно. У нас есть молекулы, атомы, более мелкие частицы и т. Д. ...
Есть намеки на то, что само пространство тоже дискретно (см. Планковскую длину), но мы не знаем наверняка.
С другой стороны, иногда (фактически почти всегда) полезно аппроксимировать вещество как гладкое и однородное на достаточно малых масштабах и использовать весь имеющийся у нас аппарат исчисления, который использует действительные числа.
Вот так плотность становится скалярным полем.
В принципе, вы правы. Масса, содержащаяся в точке (когда мы говорим о сплошных материалах), равна нулю.
Однако мы действительно можем взять небольшое количество длины, площади или объема, математически описываемое как$dx$, $dA$, или же $dV$ приближается к нулю. Они называются элементами длины, площади или объема. Чтобы найти всю массу, нужно просуммировать все произведения всех бесконечно малых плотностей массы на длину, площадь или элементы объема во всех точках массы в 1-, 2- или 3d случае. Это суммирование становится интегралом произведений плотностей$\rho$ с тремя разными элементами (при условии $\rho$ не зависит от позиции в $x$, $A$, или же $V$):
$$m_{tot}=\int _x\rho dx,$$
для массы на линии,
$$m_{tot}=\int _A\rho dA,$$
для массы на поверхности, и
$$m_{tot}=\int _V\rho dV,$$
для массы в объеме.
Если массовая плотность зависит от положения в массе, просто замените $\rho$ по $\rho (x)$, $\rho (A)$, и $\rho (V)$.
Плотность массы в точке определяется двумя способами:
- предел средней массовой плотности в объеме, содержащем точку, при уменьшении объема до нуля, и
- как поле, интегрированное для придания массы.
Чтобы понять, как и когда эти два определения являются одним и тем же, требуется некоторая теория меры - и тогда вы узнаете, что это не одно и то же.
Пример того, как они одно и то же. Предположим, что плотность массы (поле) - постоянная$1\, \mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3$в каждом рассматриваемом пункте. Позволять$x$быть такой точкой. Вычислим предел (для простоты) сферической средней объемной плотности для сфер с центром в$x$. Позволять$r$ быть радиусом в $\mathrm{cm}$. Громкость,$V$, а масса, $m$, находятся \begin{align*} V(r) &= \frac{4}{3} \pi r^3 \\ m(r) &= \int_{-r}^{r} \int_{-\sqrt{r^2 - z^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2}} \int_{-\sqrt{r^2 - z^2 - y^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2 - y^2}} 1\, \mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3 \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}z \\ &= \frac{4}{3} \pi r^3 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3 \text{.} \end{align*}
(Явные единицы могут сделать эту массу похожей на плотность. Напомним, что "$r$" в "$r^3$"имеет единицы расстояния, которые отменяют единицы расстояния в знаменателе явных единиц.)
Тогда плотность массы при $x$ является $\lim_{r \rightarrow 0} \frac{\frac{4}{3} \pi r^3 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 1 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3$. Обратите внимание, что мы должны взять предел как$r \rightarrow 0$. Мы не можем оценить отношение массы к объему при$r = 0$так как это включает деление на ноль. Теперь график функции, которую мы берем за предел. От алгебраического сокращения (допустимого в пределах, но не вне этого предела) мы ожидаем увидеть постоянную функцию.
Точка $(0,1)$опускается, поскольку деление на ноль не определено. Чтобы подкрасться к ценности, мы используем лимит. Обратите внимание, что если поле плотности изменялось (небольшие колебания вокруг средней плотности и / или тенденция к более высокой или низкой плотности вдали от$x$) мы бы увидели эти вариации на кривой. В этой очень простой модели таких функций нет.
Я добавлю еще одну точку зрения, поскольку этот вопрос только кажется чем-то очень продвинутым или тем, что возникает только в этой области физики: то, что вы спрашиваете, в точности сродни парадоксу стрел Зенона:https://en.wikipedia.org/wiki/Zeno's_paradoxes#Arrow_paradox
В принципе, я уверен, что вы знакомы с производными, но они не интуитивно понятны в применении к произвольным величинам. Конечно, мы можем говорить о средней скорости в течение некоторого промежутка времени ∆ t и считать, что, ограничивая продолжительность одним моментом времени, мы получаем мгновенную скорость в данный момент - полезную величину, которая, как мы знаем, четко определена.
«Но для того, чтобы иметь скорость, вам нужно путешествовать, а вы не можете путешествовать, если время не идет!» Да, то же самое и с отсутствием интуитивной «мгновенной» плотности (дм / дВ), если вы посмотрите на точку массы, но, тем не менее, мы работаем с производными, и они работают. :)