Где заканчивается интеграция?

Aug 17 2020

Я новичок в интегралах. Я решаю$$ \int \frac{1}{2x^2+6}$$ но я получаю неправильный ответ: $$ \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ Правильный ответ должен быть таким: $$ \frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ Вот моя полная попытка: $$ \int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)} = \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)} = \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ Можете ли вы исправить меня и дать мне какой-нибудь источник, на котором можно учиться?

Заранее спасибо!

Ответы

4 Riemann'sPointyNose Aug 17 2020 at 02:12

Вы правы до самого шага (включительно):

$${=\int \frac{1}{6\left(1 + \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2\right)}dx}$$

Вы неправильно применяете тот факт, что

$${\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan(x)+c}$$

Обратите внимание, это должно быть ${1+x^2}$- нет ${1+ax^2}$. Вместо этого вам следует выполнить замену${u=\frac{x}{\sqrt{3}}}$ получить

$${=\frac{\sqrt{3}}{6}\int\frac{1}{1+u^2}du=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan(u)+c=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+c}$$

Как требуется.

4 VenkatAmith Aug 17 2020 at 02:17

Данный, $$\int \frac{1}{2x^2+6}$$

Мы знаем это,$$\int{\frac{1}{a^2+u^2}}dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}(\frac{u}{a})+c$$

Так,

$$\int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)}dx $$ $$= \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)}dx$$ Вот,$a=1$ и $u=\frac{x}{\sqrt3}$ и $du=\frac{dx}{\sqrt3}$,

т.е. $dx={\sqrt3}du$

Итак, наш желаемый ответ:

$$\bbox[5px,border:2px solid red]{\frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}}$$

3 JoshuaBarry Aug 17 2020 at 02:20

$$\int \frac{1}{2x^2+6}dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+3}dx$$

$$x = \sqrt{3}\tan{\theta}\Rightarrow dx = \sqrt{3}\sec^2{\theta}d\theta$$

Подставляя нашу подстановку обратно в интеграл, получаем

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\int \frac{\sec^2{\theta}}{3\tan^2{\theta}+3}d\theta = \frac{\sqrt{3}}{6}\int \frac{\sec^2{\theta}}{\sec^2{\theta}}d\theta$$

Итак, теперь мы остались с

$$\frac{\sqrt3}{6}\theta +c$$

Поскольку это неопределенный интеграл, мы должны записать наш ответ через x. Оглядываясь назад на нашу замену и перестановку для теты, мы подходим к нашему окончательному ответу:

$$\frac{\sqrt3}{6}\tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt{3}})+c$$

2 JoséCarlosSantos Aug 17 2020 at 02:10

Ваша проблема заключается в окончательном равенстве. Если$F(x)$ примитив $f(x)$, и если $c\ne0$, то примитив из $f(cx)$ будет $\frac1cF(cx)$. Итак, поскольку$\arctan(x)$ примитив $\frac1{1+x^2}$, примитив $\frac1{1+(x/\sqrt3)^2}$ будет $\sqrt3\arctan\left(\frac x{\sqrt3}\right)$.

robjohn Aug 17 2020 at 10:43

Замена $x=\sqrt3\,u$ $$ \begin{align} \int\frac{\mathrm{d}x}{2x^2+6} &=\frac{\sqrt3}6\int\frac{\mathrm{d}u}{u^2+1}\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan(u)+C\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan\left(\frac{x}{\sqrt3}\right)+C\\ \end{align} $$