Характеристика связанных локально связанных множеств

Aug 15 2020

$T_1$ пространство $X$ подключается и подключается локально тогда и только тогда, когда для каждой открытой крышки $\{U_\alpha\}$ из $X$ и пара точек $x_1,x_2$ из $X$, существует конечная последовательность $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ и последовательность связанных открытых подмножеств $V_1,\cdots,V_n$ такой, что

  1. $x_1\in V_1$, $x_2\in V_n$
  2. $V_i\cap V_j\neq\varnothing$ если только $|i-j|\leq1$
  3. $V_i\subseteq U_{\alpha_i}$ для всех $i=1,\cdots,n$

Теперь для подключенных $X$, у нас есть это для $x_1,x_2$ из $X$ и открыть крышку $\{U_\alpha\}$, мы можем получить последовательность $U_{\alpha_1},\cdots,U_{\alpha_n}$ с обложки так, что

  1. $x_1\in U_{\alpha_1}$, $x_2\in U_{\alpha_n}$
  2. $U_{\alpha_i}\cap U_{\alpha_j}\neq\varnothing$ если только $|i-j|\leq1$

Также, как $X$ локально связно, каждый компонент открытого множества открыт.

Теперь я считаю, что $V_i$ требуются компоненты $U_{\alpha_i}$, правильно подобранным так, чтобы Условия $1$ и $2$держать. Это автоматически позаботится, если условие$3$. Однако мне не удалось этого показать. Любая помощь будет оценена по достоинству!

Ответы

1 PaulFrost Aug 16 2020 at 14:38

Позволять $X$удовлетворяют «условию открытой крышки». потом$X$ связано, потому что любые два $x_1, x_2 \in X$ содержатся в связном подмножестве $X$ (возьмите союз $V_i$). Чтобы показать это$X$ локально связно, пусть $x_1 \in X$ и $U_1$ быть открытым соседством $x_1$. Мы должны найти связанный открытый район$V_1$ из $x_1$ такой, что $V_1 \subset U_1$. Набор$U = X \setminus \{x_1\}$ открыто с $X$ является $T_1$(это единственное место, где нам нужен$T_1$-требование). Следовательно$\mathcal U = \{U_1, U\}$ это открытая обложка $X$. Выбери любой$x_2 \in X$ (Если хочешь $x_2 = x_1$). Существует последовательность связанных открытых$V_i$как в вашем состоянии. У нас есть$x_1 \in V_1$. Более того,$V_1$ содержится в некоторых членах $\mathcal U$. поскольку$x_1 \in V_1$, невозможно, чтобы $V_1 \subset U$. Таким образом$V_1 \subset U_1$.

Теперь докажем обратное. Начнем со следующего

Лемма. Пусть $M_1,\ldots, M_r$ быть подмножествами $X$ такой, что $M_i \cap M_{i+1} \ne \emptyset$ за $i =1,\ldots,r-1$. Тогда существует подмножество$\{k_1,\ldots,k_n\} \subset \{1,\ldots,r\}$ такой, что $1 = k_1 < k_2 <\ldots k_{n-1} < k_n=r$ и $M_{k_i} \cap M_{k_j} \ne \emptyset$ если только $\lvert i - j \rvert \le 1$.

Доказательство: звонок $\{k_1,\ldots,k_n\} \subset \{1,\ldots,r\}$ хорошо, если$1 = k_1 < k_2 <\ldots k_{n-1} < k_n=r$ и $M_{k_i} \cap M_{k_{i+1}} \ne \emptyset$ за $i = 1,\ldots,n-1$. Ясно$\{1,\ldots,r\}$это мило. Есть хороший$\{k_1,\ldots,k_n\}$с минимальным$n$ (возможно $n = r$). Предполагать$M_{k_i} \cap M_{k_j} \ne \emptyset$ для какой-то пары $(i,j)$ такой, что $\lvert i - j \rvert > 1$. Wlog мы можем предположить$i < j$. потом$\{k'_1 = k_1,\ldots,k'_i = k_i,k'_{i+1} = k_j,\ldots,k'_{n+1-(j-i)} = k_n\}$ хорошо с $n+1-(j-i) < n$, противоречие.

Лемма показывает, что в «условии открытого покрытия» можно заменить 2 (лишь на первый взгляд) более слабым условием $$V_i \cap V_{i+1} \ne \emptyset, i =1,\ldots,n-1 .$$ Позволять $\mathcal U$ быть открытой крышкой $X$. За$x_1,x_2 \in X$ определить $x_1 \sim x_2$ если существует конечная последовательность связанных открытых подмножеств $V_1,\cdots,V_n$ такой, что

  1. Каждый $V_i$ содержится в некоторых $U_{\alpha_i} \in \mathcal U$.
  2. $x_1\in V_1$, $x_2\in V_n$
  3. $V_i\cap V_{i+1} \neq\emptyset$ за $i = 1,\ldots,n-1$

$\sim$является отношением эквивалентности. Рефлексивность обусловлена ​​локальной связностью (каждый$x$ содержится в некоторых $U \in \mathcal U$, теперь возьми $n=1$ и $V_1$ любое связное открытое, такое что $x \in V_1 \subset U$). Симметрия и транзитивность очевидны.

Классы эквивалентности $[x_1]$ относительно $\sim $ открыты: если $x_2 \in [x_1]$, находим последовательность $V_i$как указано выше. Но тогда очевидно$x_2 \in V_n \subset [x_1]$. Следовательно, классы эквивалентности образуют разбиение$X$на попарно непересекающиеся открытые множества. поскольку$X$связно, может быть только один класс эквивалентности. Таким образом, любые два$x_1,x_2 \in X$ эквивалентны, что завершает доказательство.

1 HennoBrandsma Aug 16 2020 at 08:58

В этом ответе я даю цепную характеристику связности. Прочтите это в первую очередь. У меня нет "iff$|i-j| \le 1$"часть есть, но это может быть достигнуто с помощью $T_1$степень $X$, проверьте доказательство. Лично мне не нравится смешивать аксиомы разделения таким образом.

Если $X$ связно и локально связно, пусть $\{U_{\alpha \in A}\}$ быть открытой крышкой $X$. Тогда для каждого$x \in X$ у нас есть $\alpha_x$ и открыть подключено $V_x$ такой, что $x \in V_x \subseteq U_{\alpha_x}$. Затем примените цепную характеристику связности$X$ к $\{V_x: x \in X\}$ и мы показали одно направление, существование этого прикрытия от связности и локальной связности.

Как увидеть доказательство $X$подключен и локально подключен из "модифицированного состояния цепи"? Связность проста, поскольку мы просто применяем условие непосредственно к обложке$\{U,V\}$ когда $U,V$ это отключение $X$.

Более того, пусть $O$ быть открытым, $p \in O$ и разреши $C$ быть составной частью $p$ в $O$. Примените факт к открытой обложке$\{O,X\setminus \{p\}\}$ из $X$. За$y \in C$ и $p$ мы находим открытые и связанные $V_1,\ldots V_n$ такой, что $p \in V_1$, $q \in V_n$ и $V_i \subseteq O$ или же $V_i \subseteq X\setminus \{p\}$ для всех $i$ и прилегающие $V_i$пересекаются. На самом деле «цепочка» должна иметь длину$2$ если задуматься (!), так $n=2$. Но потом$V_1 \cup V_2$ связано и подмножество $O$ и показывает, что $q$ это внутренняя точка $C$ и $X$ подключен локально.