Интеграция $2$-формировать на сфере с помощью стереографической проекции

Jan 11 2021

Позволять $\omega$ быть $2$ форма $\omega = x \, dy \wedge dz - y \, dx \wedge dz + z \, dx \wedge dy$ на $S^2$. Я хочу интегрировать$\int_{S^2} \omega$ используя определение, со стереографической проекцией ${\varphi}^{- 1} : {\mathbb{R}}^2 \to S^2 \setminus \{(0 , 0 , 1)\}$ данный $$ {\varphi}^{- 1}(u , v) = \left(x = \frac{2 u}{1 + u^2 + v^2} , y = \frac{2 v}{1 + u^2 + v^2} , z = \frac{u^2 + v^2 - 1}{1 + u^2 + v^2}\right). $$ потом $$ \int_{S^2} \omega = \int_{{\mathbb{R}}^2} {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(\omega). $$ Я приступаю к расчету ${({\varphi}^{- 1})}^*(\omega)$. это$$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(\omega) = x {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) - y {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) + z {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy). $$ Например, $$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) = \frac{\partial x}{\partial u} \, du + \frac{\partial x}{\partial v} \, dv = \frac{2 (1 + u^2 + v^2) - 4 u^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, du - \frac{4 u v}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, dv $$ и аналогично $$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) = - \frac{4 u v}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, du + \frac{2 (1 + u^2 + v^2) - 4 v^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, dv $$ и $$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) = 4 \left(\frac{u}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, du + \frac{v}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, dv\right). $$ Рассчитываем теперь внешние изделия: $$ x {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) = - \frac{16 u^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} \, du \wedge dv, $$ $$ - y {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) = - \frac{16 v^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} \, du \wedge dv, $$ $$ z {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) = - 4 \frac{{(u^2 + v^2)}^2 - 2 (u^2 + v^2) + 1}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} \, du \wedge dv. $$ Следовательно $$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(\omega) = \frac{4}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} (- 2 u^2 - 2 v^2 - 1 - u^4 - 2 u^2 v^2 - v^4) \, du \wedge dv $$если бы у меня не было ошибок. Но как я могу продолжить это выражение? С другой стороны, я знаю, что интеграл должен быть$4 \pi$.

Ответы

2 ElliotYu Jan 11 2021 at 04:28

На самом деле все ваши результаты верны. Чтобы продолжить, вам просто нужно немного меньше стремиться к расширению всех выражений, но выбрать больше факторинга. В частности, результат для$(\phi^{-1})^* (z\, dx\wedge dy)$могут быть учтены. Числитель на самом деле просто$4(u^2+v^2-1)^2$. Когда вы складываете откат двух других терминов, вы добавляете$16(u^2+v^2)$в числитель. Таким образом вы получаете$4(u^2+v^2+1)^2$, который аккуратно сокращается со знаменателем.

В качестве альтернативы, если вы достаточно знакомы с расширением $(x+y+z)^2$, вы сразу поймете, что числитель вашего окончательного результата $4(u^2+v^2+1)^2$.

Чтобы продолжить работу с интегралом, вы можете преобразовать интеграл в полярные координаты в $uv$-plane, либо сделать это с помощью триггерных замен. Первый способ намного проще.