Интуитивно, каково общее совпадение / различие между конформными и ортогональными преобразованиями или терминами в целом?

Question

Мне было трудно найти четкое определение различий между ними в практическом / геометрическом плане. Ортогональные преобразования - это те, с которыми координатные поверхности или траектории встречаются под прямым углом, а конформные преобразования - это те, которые сохраняют углы.

Я вижу, как понятия пересекаются, и имею смутное представление о том, чем они отличаются, но мне трудно прояснить их точное различие, особенно в контексте дифференциального / векторного исчисления в отношении таких понятий, как якобиан и его свойства сохранения площади , дифференциальные уравнения для ортогональных траекторий, интегральные преобразования и др.

Или, говоря более прямо, когда что-то ортогонально, но не конформно, и наоборот, и когда они оба?

Answer 1

Конформное линейное отображение - это композиция гомотетии (растяжения) и ортогонального линейного отображения.

Answer 2

Самая важная часть интуиции заключается в следующем: специальные ортогональные преобразования - это вращения. Ортогональные преобразования - это повороты плюс отражения. Конформные преобразования - это повороты плюс растяжения. Конформные и антиконформные преобразования - это вращения плюс расширения плюс отражения.

С математической точки зрения это означает: ортогональные преобразования сохраняют скалярное произведение. Специальные ортогональные преобразования также сохраняют ориентацию (положительный определитель). Конформные и антиконформные преобразования сохраняют углы. Конформные преобразования также сохраняют ориентацию (положительный определитель). Точнее, ортогональные преобразования$T$ удовлетворить

$$\langle Tv,Tw\rangle=\langle v,w\rangle,$$

а специальные ортогональные преобразования дополнительно удовлетворяют

$$\det T>0.$$

Можно даже показать, что ортогональные преобразования уже удовлетворяют $\det T=\pm1$, делая $\det T=1$для специальных ортогональных преобразований. Конформные и антиконформные преобразования$S$ удовлетворить

$$\frac{\langle Sv,Sw\rangle}{\Vert Sv\Vert\Vert Sw\Vert}=\frac{\langle v,w\rangle}{\Vert v\Vert\Vert w\Vert},$$

(за $v,w\neq0$), а конформные отображения дополнительно удовлетворяют $\det S>0$. Можно показать, что это делает (анти) конформные преобразования равными ортогональным отображениям, умноженным на ненулевую константу. Таким образом, (анти) конформные преобразования являются ортогональными преобразованиями с дополнительным расширением. Если мы назовем различные группы, содержащие эти преобразования$\operatorname{O},\operatorname{SO}$ (ортогональные и специальные ортогональные), $\operatorname{CO}$ (конформный плюс антиконформный), и $\operatorname{CSO}$ (просто конформно), то имеем следующие соотношения:

$$ \operatorname{SO}\subsetneq\operatorname{O}\subsetneq\operatorname{CO}\\ \operatorname{SO}\subsetneq\operatorname{CSO}\subsetneq\operatorname{CO}\\ \operatorname{CO}=I\cdot\operatorname{O}\\ \operatorname{CSO}=I\cdot\operatorname{SO},$$

где $I$ - группа растяжений.