Как мне отследить второй кубит, чтобы найти оператор уменьшенной плотности? [дубликат]

Question

Я делаю упражнение, чтобы отследить второй кубит, чтобы найти оператор уменьшенной плотности для первого кубита:

$tr_2|11\rangle\langle00| = |1\rangle\langle0|\langle0|1\rangle$

Мне просто интересно, трассирую ли я первый кубит, должен ли я иметь:

$tr_1|11\rangle\langle00| = |1\rangle\langle0|\langle0|1\rangle$ или же $tr_1|11\rangle\langle00| = \langle0|1\rangle|1\rangle\langle0|$ ?

В учебнике Nielsen-and-Chuang у нас есть $tr(|b_1\rangle\langle b_2|)=\langle b_2|b_1\rangle$. Могу ли я сказать, что левая и правая стороны - это всего лишь два способа найти элемент в матрице? Спасибо!!

Answer 1

Предположим, у вас есть состояние $|\psi\rangle = \dfrac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $ то его матричное представление плотности имеет вид

$$ \rho = |\psi \rangle \langle \psi | = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Теперь, если мы хотим отследить подсистему$B$ найти оператор плотности системы $A$ обозначается как $\rho_A$ тогда мы можем сделать следующее:

$$ \rho_A = Tr_B(\rho) = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} Tr\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\\ Tr\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Оказывается, что $\rho_B = Tr_A(\rho)$ такой же как $\rho_A$ здесь и глядя на состояние, можно догадаться, почему это так.

---

В более общем смысле, давая оператор плотности

$$ \rho = \begin{pmatrix} \rho_{11} & \rho_{12} & \rho_{13} & \rho_{14}\\ \rho_{21} & \rho_{22} & \rho_{23} & \rho_{24}\\ \rho_{31} & \rho_{32} & \rho_{33} & \rho_{34} \\ \rho_{41} & \rho_{42} & \rho_{43} & \rho_{44} \end{pmatrix}$$

тогда

$$ \rho_A = Tr_B(\rho) = \begin{pmatrix} Tr\begin{pmatrix} \rho_{11} & \rho_{12}\\\rho_{21} & \rho_{22} \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix} \rho_{13} & \rho_{14} \\ \rho_{23} & \rho_{24} \end{pmatrix}\\ Tr\begin{pmatrix} \rho_{31} & \rho_{32} \\ \rho_{41} & \rho_{42} \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix}\rho_{33} & \rho_{34} \\ \rho_{43} & \rho_{44} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \rho_{11} + \rho_{22} & \rho_{13} + \rho_{24} \\ \rho_{31} + \rho_{42} & \rho_{33} + \rho_{44} \end{pmatrix} $$

а также

$$ \rho_B = Tr_A(\rho) = \begin{pmatrix} Tr\begin{pmatrix} \rho_{11} & \rho_{13}\\\rho_{31} & \rho_{33} \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix} \rho_{12} & \rho_{14} \\ \rho_{32} & \rho_{34} \end{pmatrix}\\ Tr\begin{pmatrix} \rho_{21} & \rho_{23} \\ \rho_{41} & \rho_{43} \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix}\rho_{22} & \rho_{24} \\ \rho_{42} & \rho_{44} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \rho_{11} + \rho_{33} & \rho_{12} + \rho_{34} \\ \rho_{21} + \rho_{43} & \rho_{22} + \rho_{44} \end{pmatrix} $$

Answer 2

Если вы разделите свое государство на двудольную систему $\rho_{AB} \in \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$ тогда одна общая формула для частичного следа имеет вид:

$$ \text{Tr}_B (\rho) = \sum_{j} (I_A \otimes \langle j |_B) \rho (I_A \otimes | j \rangle_B) $$

где $\{ |j\rangle \}$ является основой системы $B$. В вашем случае для первого оператора вы можете использовать эту формулу, чтобы найти

\begin{align} \text{Tr}_B (|11\rangle\langle00|) &= \sum_{j} (I_A \otimes \langle j |_B) |11\rangle\langle00| (I_A \otimes | j \rangle_B) \\ &= (I_A \otimes \langle 0 |_B) |1\rangle_A |1\rangle_B \langle0|_A \langle0|_B (I_A \otimes | 0 \rangle_B) \\ &\qquad+ (I_A \otimes \langle 1 |_B) |1\rangle_A |1\rangle_B \langle0|_A \langle0|_B (I_A \otimes | 1 \rangle_B)\\ &= |1\rangle\langle0|_A (\langle 0|1\rangle\langle 0|0\rangle) + |1\rangle\langle 0|_A(\langle1|1\rangle\langle0|1\rangle) \\ &= |1\rangle\langle0|_A \langle 0| 1\rangle (\langle 0|0\rangle + \langle 1|1\rangle) \\ &= 0 \end{align} и вы можете сделать аналогичный расчет, чтобы получить второй оператор.