Как пользоваться таблицей коэффициентов Клебша – Гордана из Википедии?
В Википедии есть хорошая статья с описанием коэффициентов Клебша-Гордана .
Например, насколько я понимаю, эта таблица говорит нам, как объединить две частицы, каждая из которых имеет максимальный полный угловой момент. $1$ в одну волновую функцию с максимальным угловым моментом $2$:
Возьмите первый столбец из последней таблицы. Я считаю, что это говорит нам:
$|2,0\rangle = \sqrt{\frac{1}{6}} |1,1\rangle |1,-1\rangle +\sqrt{\frac{2}{3}}|1,0\rangle|1,0\rangle+\sqrt{\frac{1}{6}} |1,-1\rangle|1,1\rangle$
Как я это интерпретирую:
Полный угловой момент частицы, который возникает из такой комбинации волновых функций двух других частиц, будет иметь полное угловое квантовое число 2 (так что полный угловой момент $\sqrt{j(j+1)\hbar^2}=\sqrt{2(2+1)\hbar^2}$), но $0$ вокруг $z$ ось (как $m_j$, как я понимаю, угловой момент вокруг $z$ ось, это $0$).
Таким образом, угловой момент составляющих частиц не выровнен друг с другом, на самом деле они достаточно сглажены, так что общий угловой момент в направлении z будет равен 0.
Верна ли такая интерпретация происходящего? Меня беспокоит, что нет таблиц для$m=-1,-2$. Если моя интерпретация ситуации верна, я не вижу причин, по которым я не мог бы создать комбинированную частицу с этими$m$ ценностей, если я могу сделать это за $m=0,1,2$.
Ответы
В статье Википедии говорится следующее:
Для краткости решения с $M < 0$ а также $j_1 < j_2$опущены. Их можно вычислить с помощью простых соотношений $$ \langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle =(-1)^{J-j_{1}-j_{2}}\langle j_{1},j_{2};-m_{1},-m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,-M\rangle .$$ а также $$ \langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle =(-1)^{J-j_{1}-j_{2}}\langle j_{2},j_{1};m_{2},m_{1}\mid j_{2},j_{1};J,M\rangle.$$
Другими словами, коэффициенты Клебша-Гордона при отрицательном значении $m$ такие же (с точностью до знака), что и для соответствующего положительного значения $m$, пока вы меняете знаки $m_1$ а также $m_2$ также.