Как рассчитать длину дуги большого круга, наклоненного к экватору в $\phi°$ разбит на $12$ дуги по долготе $30°$ отдельно?

Aug 17 2020

Большой круг лежит в $\phi°$наклон к экватору. Долготы$30°$ отделены друг от друга, что делит экватор на $12$ равные дуги размера (радиус земли$*30$). Соответствующие дуги на большом наклонном круге будут иметь переменную длину. Как рассчитать их поднятые углы для всех$12$ дуги?


Что мне удалось выяснить:

  1. Вот схема: Описание проблемы

  2. $\phi =$ широты самой низкой и самой высокой точки большого круга (без учета знаков, т.е. $+/-$).

  3. Длина дуги для обоих кругов для $90°$ поданный угол равен четверти окружности.

  4. Пытался решить с помощью правила Хаверсина и правила синуса для сферической тригонометрии , но при программировании сумма$12$ дуги не равны окружности земли.


Мотивация:

Углы дуг будут изменяться в зависимости от широты и долготы. Этот расчет имеет решающее значение для астрологической программы, которую я пытаюсь создать. Заранее благодарю за любую помощь!

Ответы

OscarLanzi Aug 17 2020 at 20:11

Возможно, лучше рассчитать совокупную длину дуги.

Позволять $A$ быть точкой, в которой дуга касается экватора и $B$ быть любой точкой, из которой вы двигаетесь $A$. Потому как$A$ может быть любой из двух точек, без ограничения общности можно считать, что $B$ заменяется $\le 180°$ долгота от$A$. Назовите таким образом смещение долготы$\theta$.

Рисовать $\triangle ABP$ где $P$является либо полюсом. потом$\angle P$ меры $\theta$, дуга $AP$ измеряет 90 °, и $\angle A$ меры $90°-\phi$.

Решая треугольники, я обычно предпочитаю работать с косинусами вместо синусов. Функция косинуса монотонна и дает однозначную обратную величину на всем пути от$0°$ к $180°$, тогда как синусоидальная функция удваивается, когда аргумент проходит $90°$. Так что смотрите на законы косинуса. Когда у вас есть два угла и включенная сторона, как здесь, лучше всего работает Второй закон косинусов . Для этого треугольника закон дает для третьего угла следующее$\angle B$:

$\cos \angle B = -\cos \angle A\cos \angle P+\sin \angle A\sin \angle P\cos AP$

Здесь второй член справа обнуляется как $AP$ меры $90°$. Подключение известных углов выше, затем рендеринг

$\cos \angle B = -\sin \phi\cos \theta$

Затем мы применяем тот же закон еще раз, на этот раз с $\angle P$ с левой стороны:

$\cos \angle P = -\cos \angle A\cos \angle B+\sin \angle A\sin \angle B\cos AB$

Вставляя известные значения и используя тот факт, что $\sin u =+\sqrt{1-\cos^2 u}$ за $0\le u\le 180°$, мы получили

$\cos \theta = \sin^2 \phi\cos\theta+(\cos \phi)(\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta})(\cos AB)$

$\cos^2 \phi\cos\theta=(\cos \phi)(\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta})(\cos AB)$

и эта формула для длины дуги $AB$:

$\color{blue}{\cos AB = \dfrac{\cos \phi\cos \theta}{\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta}}} (0°\le\theta\le 180°)$