Какая часть определения гладкого многообразия ниже исключает возможность многообразия, содержащего его границу?

Question

Этот вопрос о том, почему многообразие не может содержать границу. Я читаю о дифференциальных формах и многообразиях в исчислении Адамса и Эссекса 2.

Насколько я прочитал и как сказано в книге

Многообразие $M$ в $\mathbb{R}^n$ сам по себе не содержит граничных точек ....

Тем не менее, определение гладкого многообразия в книге (которое, вероятно, не является самым общим, поскольку это вводный текст) гласит (с небольшими сокращениями)

Подмножество $M$ из $\mathbb{R}^n$ является k-многообразием размерности $k\leq n$ если для каждого $\mathbf{x} \in M$ существует открытый набор $U \subset \mathbb{R}^n$, содержащий $\mathbf{x}$ и гладкая функция $\mathbf{f}:U\rightarrow \mathbb{R}^{n-k}$: такие, что выполняются два следующих условия: i) часть M в U задается уравнением $\mathbf{\mathbf{f}(\mathbf{x})} = \mathbf{0}$, ii) линейное преобразование из $\mathbb{R}^{n}$ в $\mathbb{R}^{n-k}$ заданный якобианом $\mathbf{f}$ находится на $\mathbb{R}^{n-k}$.

Я не понимаю, какая часть этого определения исключает возможность многообразия, содержащего его границу .

В качестве примера скажем многообразие $M$ может быть определен $M = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | y=x^2 \wedge 0 \leq x \leq 1\} $. Тогда мы можем позволить$f = y-x^2$. Тогда для любого$(x,y)$ в $M$ у нас может быть маленький диск ($U$) вокруг любого $(x,y)$ который будет отображен на $\mathbb{R}$ по $f$, часть $M$ внутри диска будет указано $\mathbf{f}=0$, и якобиан $\begin{bmatrix}-2x & 1\end{bmatrix}$ находится на $\mathbb{R}$.

Мне все кажется хорошим, но точки $(0,0)$, $(1,0)$казалось бы, граничные точки. Где я ошибаюсь?

Answer 1

В предложении

часть $M$ в $U$ задается уравнением $f(x)=0$,

Это следует понимать как $$\tag{1} M\cap U = \{(x, y) \in U | f(x, y) =0\},$$ вместо просто $$\tag{2} M\cap U \subset \{(x, y) \in U | f(x, y) =0\}.$$

В вашем примере $M, f$. Позволять$\mathbf x = (1,1)$ и $U$ быть открытым набором $$U = \{ (x, y)\in \mathbb R^2 : x\in (0.5, 1.5), |x^2-y|<1\}.$$

потом $$ \{(x, y) \in U : f(x, y) = 0\} = \{ (x, y)\in U: x^2= y\}$$ строго содержит $$U\cap M = \{ (x, y) \in U | x^2=y,\ \text{ and } x\in (0.5, 1]\}.$$

Итак, ваш пример не является многообразием, поскольку предложение следует понимать как равенство.

Чтобы ясно видеть, что это должна быть правильная интерпретация: если вам просто требуется включение (2) вместо равенства (1), тогда каждое подмножество $X$ который лежит внутри $\mathbb R\times \{0\} $ будет $1$-многообразие: пусть $X \subset \mathbb R\times \{0\} \subset \mathbb R^2$быть любым подмножеством. Затем с$f(x, y) = x$, (2) выполняется и, следовательно, $X$ будет "многообразием", если вы предположите только (2).

Answer 2

Вам нужны гомеоморфные карты из открытых подмножеств $\mathbb R$ открывать подмножества $M$. Но такой диаграммы нет ни для одного открытого подмножества$M$содержащий его граничные точки, потому что открытый линейный элемент не гомеоморфен полузамкнутому (или замкнутому) линейному элементу. Это уже исключает$M$ от топологического многообразия, не говоря уже о гладком.