Количественная оценка замещения в теории множеств

Question

Есть унарная формула $\phi$ на языке теории множеств со следующими свойствами:

(я) $ZFC \vdash (\exists x)\phi(x)$

(ii) для каждой унарной формулы $\psi$ на языке теории множеств, для которой $ZFC \vdash (\exists! x)\psi(x)$, у нас есть $ZFC \vdash (\forall x)(\psi(x) \rightarrow \neg \phi(x))$

Answer 1

Нет, такой формулы не существует. Причина в том, что в$L$, конструктивная вселенная, существует определимая хорошо упорядоченная $<_L$Вселенной. Следовательно, для любой формулы$\phi$ такой, что $L\models\exists x\,\phi(x)$, есть формула $\psi_\phi$ такой, что $L\models\exists!x\,\psi_\phi(x)$ и $L\models\forall x\,(\psi_\phi(x)\to\phi(x))$, а именно $\psi_\phi(x)$ говорится, что $x$ это $<_L$-первый свидетель $\phi$.

Замените свою теорию на $\mathsf{ZFC}+V\ne L$ тоже не помогает, так как мы всегда можем использовать форсирование классов, чтобы сделать $V=HOD$, класс наследственно порядковых определяемых элементов, и в этом случае мы снова имеем определимое хорошее упорядочение вселенной.

С другой стороны, очевидно, что предложенная вами формула существует. Не доказуемо, конечно, как только что указано, но эта модель$M$ удовлетворяет версии (i) и (ii) в вашем сообщении с каждым "$\mathsf{ZFC}\vdash$"заменено на"$M\models$". А именно пусть $g$ быть настоящим обобщением Коэна над $L$, и рассмотрим $M=L[g]$ и $\phi(x)$ заявление, что $x$ коэново-генерическое над $L$.