Комплексный анализ с вычислением интеграла

Question

Я =$\int_\gamma \operatorname{Im}(z)\mathrm dz$

$\gamma$ это интервал между $\omega_1=0$ и $\omega_2=1+2\mathrm i$

Как я могу вычислить интеграл выше? У меня нет процесса по этому вопросу. Я ` жаль об этом.

Answer 1

Просто примените определение: если $D\subseteq\mathbb C$, $\gamma:[a,b]\to D$ - параметризация гладкой кривой и $f:D\to\mathbb C$, тогда

$$\int_\gamma f(z)\mathrm dz:=\int_a^b \gamma'(t) f(\gamma(t))\mathrm dt.$$

В твоем случае, $\gamma:[0,1]\to\mathbb C,~\gamma(t)=(1+2\mathrm i)t$ - подходящая параметризация, а $f(z)=\operatorname{Im}z$. Подключаем все:

$$\int_\gamma\operatorname{Im}z\mathrm dz=\int_0^1(1+2\mathrm i)\operatorname{Im}((1+2\mathrm i)t)\mathrm dt=\int_0^1(1+2\mathrm i)2t\mathrm dt.$$

Я думаю, все остальное ты сможешь сделать сам.