Контур интегрировать $\frac{\csc(a x) \sin(a x m)}{\cosh(x) \exp(x)}$

Question

Я хотел бы интегрировать $\int_0^{\infty}\frac{\csc(a x) \sin(a x m)}{\cosh(x) \exp(x)}\mathrm{d}x$ где $m$ целое число.

Похоже, есть и реальные особенности $x = \frac{n\pi}{a}$ и воображаемый $x = \frac{\pi}{2 I} +I \pi n$.

Похоже, это предполагает, что контурная интеграция - лучший способ.

Теперь я не знаю, что делать дальше.

Answer 1

Для $m>0$, $\displaystyle\frac{\sin axm}{\sin ax}=\sum_{k=0}^{m-1}\cos(m-1-2k)ax$, поэтому данный интеграл представляет собой сумму таких вещей, как $$\int_0^\infty\frac{\cos bx}{1+e^{ax}}\,dx=\frac{1}{2a}\left[f\left(\frac{ib}{a}\right)+f\left(-\frac{ib}{a}\right)\right]\tag{*}\label{mainint}$$ где для комплекса $z$ с участием $\Re z>-1$, $$f(z)=\int_0^\infty\frac{e^{-zx}}{1+e^x}\,dx\underset{e^{-x}=t}{=}\int_0^1\frac{t^z\,dt}{1+t}=\int_0^1\frac{t^z-t^{z+1}}{1-t^2}\,dt\\\underset{t^2=x}{=}\frac12\int_0^1\frac{x^{(z-1)/2}-x^{z/2}}{1-x}\,dx=\frac12\left[\psi\left(1+\frac{z}{2}\right)-\psi\left(\frac{1+z}{2}\right)\right],$$ с участием $\psi$функция дигаммы (окончательное равенство показано , как это делается здесь ). Если бы у нас был синус вместо косинуса в$\eqref{mainint}$, то $\psi$s уменьшится из-за формулы отражения . С косинусом этого не происходит, как и в конечном результате. Вот почему я не ожидаю, что контурная интеграция даст что-то полезное.