Лемма Гензеля требует, чтобы оценка была дискретной.
В теории алгебраических чисел Нойкирха формулировка леммы Гензеля (предложение 4.6 в главе II) не требует, чтобы оценка была дискретной, только неархимедовой (если только я каким-то образом не пропустил это требование).
После доказательства я использовал представление элемента $x \in \mathcal{O}$ в виде $x = u \pi^n$, что имеет место при дискретной оценке. В статье в Википедии также изложена лемма только для дискретных оценок.
У меня вопрос: необходима ли дискретность оценки? Если да, то предполагается ли в книге, что с этого момента каждая оценка является дискретной?
Я нашел этот вопрос, где объясняется, что недискретные оценки часто опускаются в некоторых разделах математики, поэтому для Нойкирха было бы разумно рассматривать только дискретные оценки, но, опять же, я не видел, чтобы об этом упоминалось.
Ответы
Был ли этап доказательства в Нойкирхе (не предполагавший дискретности), который вы не поняли? Обратите внимание, что$\pi$в доказательстве Нойкирха не является выбором простого элемента в$\mathcal O$. Это число наибольшего абсолютного значения среди коэффициентов двух многочленов, все коэффициенты которых находятся в максимальном идеале$\mathcal O$ (так что обязательно $|\pi| < 1$). Я согласен, что может показаться неправильным видеть степень числа, записанную как$\pi$, поскольку это предполагает $\pi$ является основным элементом $\mathcal O$, но нигде ему не нужен максимальный идеал $\mathcal O$ быть произведенным $\pi$.
Еще одна книга с формулировкой леммы Гензеля в том виде, в каком вы ее видите у Нойркиха, - это теорема 4.1 из книги Дворка, Геротто и Салливана «Введение в $G$-Функции ». Они работают в полном неархимедово-значном поле без предположения о дискретности, и их доказательство отличается от доказательства в Нюркирхе, с использованием теоремы сжимающего отображения на пространстве многочленов ограниченной степени и без степеней специально выбранной элемент для создания степенных рядов по многочленам ограниченной степени. Их форма леммы Гензеля более общая, чем у Нойкирха: вместо предположения$f \not\equiv 0 \bmod \mathfrak p$ и что есть многочлены $g_0$ и $h_0$ в $\mathcal O[x]$ такой, что $f \equiv g_0h_0 \bmod \mathfrak p$ где $\gcd(g_0 \bmod \mathfrak p,h_0 \bmod \mathfrak p) = 1$ в $(\mathcal O/\mathfrak p)[x]$, они предполагают, что существуют многочлены $g_0$ и $h_0$ в $\mathcal O[x]$ такой, что$|f - g_0h_0|_{\rm Gauss} < |R(g,h)|^2$, где $|F|_{\rm Gauss}$ для полинома $F$ - максимальное абсолютное значение коэффициентов при $F$. Версия леммы Гензеля в Нойкирхе является частным случаем версии в DGS, где$R(g_0,h_0) \not\equiv 0 \bmod \mathfrak p$ (эквивалентно, $|R(g_0,h_0)|_{\rm Gauss} = 1$). Эти две версии леммы Гензеля аналогичны двум стандартным версиям леммы Гензеля в формулировке о поднятии корня: (i) существует$\alpha_0 \in \mathcal O$ такой, что $f(\alpha_0) \equiv 0 \bmod \mathfrak p$ и $f'(\alpha_0) \not\equiv 0 \bmod \mathfrak p$ по сравнению с (ii) есть $\alpha_0 \in \mathcal O$ такой, что $|f(\alpha_0)| < |f'(\alpha_0)|^2$, где (i) - частный случай, когда $|f'(\alpha_0)| = 1$. (Версия леммы Гензеля с подъемом корней является частным случаем версии леммы Гензеля с повышением факторизации, когда один многочлен в факторизации рассматривается как монический и линейный: если$F(x) = (x - \alpha_0)h(x)$ тогда $R(x-\alpha_0,h(x)) = h(\alpha_0) = F'(\alpha_0)$.)
Доказательство леммы Гензеля в «Теории чисел» Боревича и Шафаревича (стр. 273) представляет собой теорему о факторизации подъема, как и в Нойкирхе, но их структура более ограничительна, чем у Нойкирха, в одном смысле (их неархимедова абсолютная величина дискретна ) и более общей чем гипотеза Нойкирха в другом смысле (их гипотеза включает в себя результирующие, а не относительно простую модель факторизации$\mathfrak p$).