Любое линейное подпространство имеет нулевую меру
Определение
Позволять $A$ быть подмножеством $\Bbb R^n$. Мы говорим$A$ имеет нулевую меру в $\Bbb R^n$ если для каждого $\epsilon>0$, есть покрытие $Q_1,\,Q_2,...$ из $A$ счетным числом прямоугольников, таких что $$ \sum_{i=1}^\infty v(Q_i)<\epsilon $$ Если это неравенство выполняется, мы часто говорим, что общий объем прямоугольников $Q_1,Q_2,...$ меньше чем $\epsilon$.
Теорема
Позволять $A$ быть открытым в $\Bbb R^n$; позволять$f:A\rightarrow\Bbb R^n$ быть функцией класса $C^1$. Если подмножество$E$ из $A$ имеет нулевую меру в $\Bbb R^n$, то множество $f[E]$ также имеет нулевую меру в $\Bbb R^n$.
Доказательство . См. Лемму$18.1$ текста Джеймса Мункреса «Анализ на многообразиях».
Лемма
Подмножество $\Bbb R^m\times\{t_{m+1}\}\times...\times\{t_{m+(n-m)}\}$ из $\Bbb R^n$ имеет нулевую меру в $\Bbb R^n$.
Доказательство . Смотрите здесь .
Теорема
Любое линейное подпространство $W$ из $\Bbb R^n$ это имеет измерение $m<n$ имеет нулевую меру.
К счастью, я подготовил следующее доказательство, но сомневаюсь, что в нем есть какие-то недостатки.
Доказательство . Прежде всего, если$W$ является подпространством $\Bbb R^n$ измерения $m<n$ тогда $$ W\equiv\big<w_1,...,w_m\big> $$ для некоторых $w_1,...,w_m\in\Bbb R^m$которые линейно независимы, поэтому мы должны показать, что множество линейных комбинаций этих векторов имеет нулевую меру. Сейчас если$\mathcal E:=\big\{e_1,...,e_n\big\}$ - каноническая база, то определим линейное преобразование $t:\Bbb R^n\rightarrow\Bbb R^n$ через условие $$ t(e_i):=\begin{cases}w_i,\,\,\,\text{if}\,\,\,i\le m\\0,\,\,\,\text{otherwise}\end{cases} $$ для любой $i=1,...,n$ так что $t\big[\Bbb R^n\big]=W$. Итак, мы расширяем набор$\big\{w_1,...,w_m\big\}$ к основе $\mathcal W:=\big\{w_1,...,w_m,w_{m+1},...,w_n\big\}$ а затем рассмотрим (линейный) диффеоморфизм $f$ класса $C^1$ определяется через условие $$ f(e_i):=w_i $$ для всех $i=1,...,n$. Так что если$f[W]$ имеет нулевую меру, то $W$тоже имеет нулевую меру. Итак, поскольку$f[W]=\Bbb R^m\times\{0\}^{n-m}$ Теорема верна.
Итак, мое доказательство верное? Тогда, к сожалению, я не могу доказать, что$f[W]=\Bbb R^m\times\{0\}^{n-m}$. Так может кто-нибудь мне помочь, пожалуйста?
Ответы
Используя обозначения из вашей теоремы, пусть $A = \mathbb{R}^n\subset \mathbb{R}^n$ так что $A$ открыто, и мы ищем диффеоморфизм на $A$ так что $\mathbb{R}^m\times\{0^{n-m}\}$ отображается на $W$ где без ограничения общности считаем, что $\dim(W) = m$. поскольку$W$ является подпространством $\mathbb{R}^n$ тогда мы можем найти основу для $W$ и пометьте эти векторы $\{w_1, \ldots w_m\}$. Мы также можем найти дополнительные$n-m$ векторы такие, что $\{w_1, \ldots w_m, w_{m+1}, \ldots w_{n}\}$ это основа для $\mathbb{R}^n$. Позволять$\{e_1,\ldots e_n\}$ быть стандартной основой для $\mathbb{R}^n$. Рассмотрим линейное преобразование, определяемое формулой$$ f(e_i) = w_i$$ потом $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ является линейной биекцией и, следовательно, является $C^1$. Заметить, что$E = span\{e_1\ldots e_m\} = \mathbb{R}^m\times\{0^{n-m}\}$ и это $$f(E) = span\{f(e_1),\ldots f(e_m)\} = span\{w_1,\ldots w_m\} = W $$
Не совсем ответ, но не подходит для комментария.
Это следствие общего результата: если $p:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ является многочленом, то либо $p=0$или отличное от нуля почти везде. Существует краткое доказательство здесь .
Если $W$ является собственным подпространством в $\mathbb{R}^n$, то она содержится в некоторой гиперплоскости $H$ и мы можем написать $H= \{ x | \phi(x) = \alpha \}$ где $\phi$- ненулевой линейный функционал. Поскольку многочлен$p(x)=\phi(x)-\alpha$ ненулевой многочлен от $x_1,..,x_n$ Мы видим, что $H$ имеет нулевую меру.