Лучший способ решить глупо сложное параметрическое нелинейное уравнение с уменьшением / решением и т. Д.
У меня есть параметрическая нелинейная функция, которая буквально кошмар. Я знаю, что корни существуют, они настоящие, и оба параметра p,e
положительны. Я ожидал от mathematica решения (в форме корня, без закрытой формы), но даже позволив программе работать всю ночь, я сдался. Я не могу понять, могу ли я сформулировать проблему неэффективно, это мой компьютер требует серьезных обновлений или проблема, которая слишком сложна для таких методов, как Reduce или Solve. Если дело обстоит именно так, я думаю, я обречен ... Есть намек на два других? Спасибо за помощь.
Мои попытки и уравнение:
f[x_]:=(1/(8 (p^2+x^2)^3))p^2 (-2 p^6+p^5 (4-8 x)+2 p^3 (3-8 x) x^2-6 p x^4+p^4 (80000+2 x-9 x^2)+2 p^2 x (40000+60000 x+x^2-5 x^3)-3 x^3 (-80000+40000 x+x^3)+(4 Sqrt[10] e x (p^2+x^2)^2 (2 p x^3+p^4 (-2+3 x)+2 p^3 x (-3+4 x)+x^2 (-80000+40000 x+x^3)+2 p^2 (40000-60000 x-x^2+2 x^3)))/Sqrt[-e p^2 (-1+x) x^2 (p^2+x^2)^2 (-40000+p^2+2 p x+x^2)])
Reduce[f[x]==0 && x>=0 &&p>=0 && e>=0,x,Reals] (*stuck running*)
Solve[f[x]==0 && x>=0 &&p>=0 && e>=0,x,Reals] (*stuck running*)
Ответы
Если вас устраивает приблизительный ответ, вы можете попробовать использовать NDSolveValue. Ваша функция:
f[x_] := (1/(8 (p^2+x^2)^3))p^2 (-2 p^6+p^5 (4-8 x)+2 p^3 (3-8 x) x^2-6 p x^4+p^4 (80000+2 x-9 x^2)+2 p^2 x (40000+60000 x+x^2-5 x^3)-3 x^3 (-80000+40000 x+x^3)+(4 Sqrt[10] e x (p^2+x^2)^2 (2 p x^3+p^4 (-2+3 x)+2 p^3 x (-3+4 x)+x^2 (-80000+40000 x+x^3)+2 p^2 (40000-60000 x-x^2+2 x^3)))/Sqrt[-e p^2 (-1+x) x^2 (p^2+x^2)^2 (-40000+p^2+2 p x+x^2)])
Чтобы использовать NDSolveValue, нам нужно знать граничное условие. Например, здесь значение , x
когда p
это 1
:
x1 = x /. Block[{p=1}, First @ Solve[f[x] == 0, x]]
Корень [256006399839996 + 1023948800640 e + (255942399200020 - 3071999998080 e) # 1 + (511955203840004 + 2304217598880 e) # 1 ^ 2 + (1279846402079976 - 2048025605760 e) # 1 ^ 3 + (139842 + 960 42799) (192129617159615 + 4095897593600 e) # 1 ^ 5 + (-384151995680463 - 512486397600 e) # 1 ^ 6 + (-3455678391520375 + 2047846414080 e) # 1 ^ 7 + (2880427177039798 - 332788480 e3) # 1 1024102385280 e) # 1 ^ 9 + (43199520578 + 256064008800 e) # 1 ^ 10 + (-14402879738 - 25598080 e) # 1 ^ 11 + (-359829 + 12802240 e) # 1 ^ 12 + 360087 # 1 ^ 13 + ( 9 + 160 e) # 1 ^ 14 + 9 # 1 ^ 15 &, 1]
Теперь мы можем использовать NDSolveValue:
sol = NDSolveValue[
{
D[f[x[p,e]]==0, p], x[1, e] == x1},
x,
{p,.1,100},
{e,.1,10000},
MaxStepFraction->.0005,
PrecisionGoal->10
]; //AbsoluteTiming
{19.2292, ноль}
Проверьте несколько случайных выборок:
Block[{p = 50, e = 200}, f[sol[p, e]]]
Block[{p = 10, e = 2000}, f[sol[p, e]]]
6,42413 * 10 ^ -9
8,0893 * 10 ^ -9
Визуализация:
Plot3D[sol[p,e], {p,.1,100}, {e,.1,10000}]

FWIW, вот половина решения: возьмите числитель, рационализируйте его так, чтобы он был полиномом, и найдите корни. Осталось выбрать те, которые положительны, p
а e
положительные. Этот шаг занимает много времени (если это вообще возможно), за исключением случаев, когда для p
и заданы конкретные числовые значения e
.
num = Simplify[ff, x >= 0 && p >= 0 && e >= 0] // Together //
Numerator // Simplify[#, x >= 0 && p >= 0 && e >= 0] & //
FactorList // #[[-1, 1]] & // Simplify
(* p Sqrt[-e (-1 + x) (-40000 + p^2 + 2 p x + x^2)] (2 p^6 + 6 p x^4 + p^5 (-4 + 8 x) + 2 p^3 x^2 (-3 + 8 x) + p^4 (-80000 - 2 x + 9 x^2) + 3 x^3 (-80000 + 40000 x + x^3) + 2 p^2 x (-40000 - 60000 x - x^2 + 5 x^3)) - 4 Sqrt[10] e (2 p x^5 + 4 p^3 x^3 (-1 + 2 x) + p^6 (-2 + 3 x) + 2 p^5 x (-3 + 4 x) + p^2 x^3 (-80000 - 2 x + 5 x^2) + x^4 (-80000 + 40000 x + x^3) + p^4 (80000 - 120000 x - 4 x^2 + 7 x^3)) *)
Проверьте, есть ли два термина (первый, очевидно, содержит радикал):
Length@num
(* 2 *)
rat = num*MapAt[-# &, num, 1] // Expand // Simplify
(* e (p^2 (-1 + x) (-40000 + p^2 + 2 p x + x^2) (2 p^6 + 6 p x^4 + p^5 (-4 + 8 x) + 2 p^3 x^2 (-3 + 8 x) + p^4 (-80000 - 2 x + 9 x^2) + 3 x^3 (-80000 + 40000 x + x^3) + 2 p^2 x (-40000 - 60000 x - x^2 + 5 x^3))^2 + 160 e (2 p x^5 + 4 p^3 x^3 (-1 + 2 x) + p^6 (-2 + 3 x) + 2 p^5 x (-3 + 4 x) + p^2 x^3 (-80000 - 2 x + 5 x^2) + x^4 (-80000 + 40000 x + x^3) + p^4 (80000 - 120000 x - 4 x^2 + 7 x^3))^2) *)
Solve[rat == 0, x]
(* <15 Root objects> *)
Эти корни содержат посторонние решения, и для работы с ними, кажется, нужно подставить числовые значения для параметров. Если такой подход полезен, то, возможно, лучше подменить параметры f[x]
и обработать полученное уравнение f[x] == 0
.