Момент-производящие функции двух случайных величин

Question

Позволять $X$ и $Y$ - независимая случайная величина с соответствующей производящей функцией момента

$M_x(t) = \frac{(8+e^t)^2}{81} $ и $M_y(t) = \frac{(1+3e^t)^3}{64} , -\infty<t<\infty $

потом $ P(X+Y = 1) $равно

Я знаю, что с помощью функции, производящей момент, мы можем найти вероятность

$M_x(t) = P(X=0)e^{t*0} + P(X=1)e^{t*1}.....P(X=n)e^{t*n}$

Сравнивая это mgf, мы можем получить конкретную вероятность. Но как нам ответить на этот вопрос?

Answer 1

Подсказка: $X$ и $Y$являются неотрицательными целочисленными случайными величинами. Следовательно$$P(X+Y=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)$$ $$=P(X=1)P(Y=0)+P(X=0)P(Y=1).$$ Обратите внимание, что $M_X(t)=\frac {64+16e^{t}+e^{2t}} {81}$. поскольку$Ee^{tX}=\sum e^{nt}P(X=n)$ Мы видим, что $P(X=0)$ и $P(X=1)$ коэффициенты при $e^{0t}$ и $e^{t}$. Вы можете закончить?

Answer 2

Хорошо известно, что если $X\sim Bin(n,p)$ тогда $MGF_X(t)=(1-p+pe^t)^n$. Таким образом$X\sim Bin(2,\tfrac{1}{9})$ и $Y\sim Bin(3, \tfrac{3}{4})$. Отсюда,$\Pr(X+Y=1)=\Pr(X=0,Y=1)+\Pr(X=1,Y=0)$ и остается подставить все числа в формулу для биномиального распределения.