Найдите формулу линейного преобразования [закрыто]

Question

Найдите пример формулы линейного преобразования $\varphi$ так что:

$$\ker\varphi = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x-y+6z+2t=0\},$$ $$\operatorname{im}\varphi = \operatorname{span}((2,3,1))$$

Как подойти к такой проблеме? Приветствуется самый стандартный способ.

Answer 1

$\varphi$ является линейным преобразованием $\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}^3$, поэтому матрица $A$ представляющий $\varphi$ (относительно стандартного базиса) $3$ от $4$. Сейчас если$$\ker\varphi=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:x-y+6z+2t=0\}$$ тогда все в ядре $A$ ортогонален $(1,-1,6,2)$, так что давайте установим $$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ ?&?&?&?\\?&?&?&?\end{bmatrix}.$$Мы еще не закончили, потому что мы не указали оставшиеся записи. Но это не сложно, потому что мы знаем$$\text{im}\varphi=\text{span}((2,3,1))$$ что означает, что все векторы-столбцы являются скалярными кратными $(2,3,1)$. Так, например, первый столбец просто$1/2$ раз $(2,3,1)$, который дает $$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ 3/2&?&?&?\\1/2&?&?&?\end{bmatrix}.$$ Продолжая эту логику, мы можем аналогичным образом заполнить последние три столбца, что даст нам $$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ 3/2&-3/2&9&3\\1/2&-1/2&3&1\end{bmatrix}.$$ Теперь мы закончили.

Answer 2

Заметьте, что $\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x-y+6z+2t=0\}$ - множество всех векторов вида $$(y-6z-2t,y,z,t) = y(1,1,0,0) + z(-6,0,1,0) + t(-2,0,0,1)$$ где $y,z$ и $t$пробегает все действительные числа. Итак, выбираем линейную карту$\varphi : \mathbb R^4 \to \mathbb R^3$ такой, что $$\varphi(1,1,0,0) = \varphi(-6,0,1,0) = \varphi(-2,0,0,1) = 0$$ и $\varphi(v) = (2,3,1)$ для некоторых $v \in \mathbb R^4$ что не в промежутке $$\{(1,1,0,0),(-6,0,1,0),(-2,0,0,1)\}.$$

Answer 3

Следующая матрица описывает такую ​​матрицу: $\begin{pmatrix} 2&-2&12&4\\3&-3&18&6\\1&-1&6&2\end{pmatrix}$.