Неравенство для функции $\arctan(x)$

Question

Я хочу показать это $$f(x) = \frac{1}{\arctan(x)} - \frac{1}{x} $$ увеличивается на $(0, \infty)$. Я могу ясно увидеть это, нарисовав это, но я изо всех сил пытаюсь описать это строго. Очевидно, достаточно показать, что его производная всегда положительна в этом диапазоне (что также ясно из построения графика). У нас есть$$f'(x) = \frac{(1+x^2)\arctan^2(x) -x^2}{x^2(1+x^2)\arctan^2(x)}$$ так что снова достаточно показать, что $$g(x) \equiv (1+x^2)\arctan^2(x) -x^2 \ge 0 \quad \forall x >0$$(и, опять же, это видно из его построения). Я прыгнул в кроличью нору, взяв производную от$g$ также (поскольку это $0$ в $x = 0$ так что снова достаточно показать, что $g' \ge 0$) и ничего полезного для меня сразу не дает. Пожалуйста, помоги, если можешь

Answer 1

$${1\over 1+x^2}\ge {1-x^2\over (1+x^2)^2}\quad \forall x >0$$ который является производным от $${\arctan(x)}\ge {x\over 1+x^2}\quad \forall x >0$$ $${2\arctan(x)\over 1+x^2}\ge {2x\over (1+x^2)^2}\quad \forall x >0$$ который является производным от $$\arctan^2(x) \ge {x^2\over 1+x^2}\quad \forall x >0$$

$$(1+x^2)\arctan^2(x) -x^2 \ge 0 \quad \forall x >0$$

Answer 2

Вместо этого рассмотрим $ \displaystyle g(x) = \arctan{x} - \frac{x^2}{1 + x^2}$. Обратите внимание, что$g(0) = 0$, поэтому достаточно показать, что $g'(x) = 0$ для $x \ge 0$.

Сейчас же, $\displaystyle g'(x) = \frac{2[(1 + x^2)\arctan{x} - x]}{(1 + x^2)^2}$. Таким образом, достаточно рассмотреть$$h(x) = \arctan{x} - \frac{x}{(1 + x^2)},$$ и показать, что $h(x) \ge 0$ для $x \ge 0$. Но$h(0) = 0$, и $$h'(x) = \frac{2x^2}{(1 + x^2)^2} \ge 0$$ для всех $x$. Это завершает доказательство.