Обсудить существование и единственность задачи Коши
Я не знаю, что происходит с этим упражнением. Мне нужна помощь, потому что я очень озадачен.
Рассмотрим задачу Коши
\ begin {case} y '= \ frac {2} {t} y + 2 t \ sqrt {y} \\ y (1) = 0 \ end {cases}
Изучите существование и уникальность
Вот $$f(t,y)=\frac{2}{t} y + 2 t \sqrt{y}$$ поскольку $y\geq0$ (У меня корень квадратный), считаю открытым районом $K = \{t: |t-1|< r_1 \} \times \{y: 0 < y < r_2 \}$, но таким образом у меня проблемы с $$f_y(t,y)= \frac{2}{t} + \frac{t}{\sqrt{y}}$$ потому что это прерывается в $y=0$.
Поэтому я должен искать более слабое условие, как непрерывность Липшица: я беру $(t,y_1)$ и $(t,y_2)$ в $K$:
$$|\frac{2}{t} \bigl(y_1 - y_2 \bigr) + 2t \bigl( \sqrt{y_1} - \sqrt{y_2} \bigr)| \leq |\frac{2}{t} \bigl(y_1 - y_2 \bigr)| + |2t \bigl( \sqrt{y_1} - \sqrt{y_2} \bigr)| $$
но второй член неравенства довольно проблематичен: это все равно что доказать, что $x \mapsto \sqrt{x}$ Липшиц для $x\geq0$, что заведомо ложно.
Итак, я не могу применить теорему на самом деле ... Я не прав? Если да, то в чем мои ошибки?
Ответы
Правая $f(t,y)$, определенный в $\Omega := (0, +\infty) \times [0,+\infty)$, непрерывна в $\Omega$но он не является локально липшицевым. Следовательно, теорема Пеано гарантирует локальное существование, но единственность не обязательно должна выполняться (и, действительно, в нашем случае у нас есть более одного решения).
В дальнейшем, $f$ сублинейна в $y$, означающий, что $|f(t,y)| \leq a(t) + b(t) |y|$ для некоторых непрерывных функций $a, b \in C((0,+\infty))$, так что все решения являются глобальными (что означает, что каждое решение допускает расширение на $(0,+\infty)$).
Вычислим решения данной задачи Коши. Одним из решений является постоянная функция$y(t) = 0$, $t\in (0,+\infty)$.
Другие решения в какой-то момент расходятся с постоянным решением. $\tau \geq 1$. Чтобы найти их, сначала вычислим строго положительные решения дифференциального уравнения. С заменой переменной$z = \sqrt{y}$ попадаем в линейное уравнение $z' = z/t + t$, решения которого имеют вид $z(t) = ct + t^2$, для некоторой постоянной $c\in \mathbb{R}$. Напомним, что нас интересуют только положительные решения, определенные на некотором подынтервале$(0,+\infty)$. Соответствующие$y$ тогда имеют вид $$ y_\tau (t) = t^2 (t- \tau)^2, \qquad t > \max\{\tau, 0\}, $$
где $\tau$это реальный параметр. Легко видеть, что если$\tau \geq 1$, тогда $y_\tau$ может быть продлен влево с помощью $0$ решение, получение глобального решения задачи Коши $$ y_\tau(t) := \begin{cases} 0, & \text{if}\ t \in (0, \tau], \\ t^2(t-\tau)^2, & \text{if}\ t > \tau\,. \end{cases} $$ В заключение, для каждого $\tau \geq 1$указанная выше функция является решением задачи Коши. (Это семейство решений называется кистью Пеано.)