Оценить $\int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx$.
Я пытаюсь вычислить следующий интеграл: $$ \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx $$ где $\zeta >0$- некоторое положительное действительное число. Поскольку первообразная этой функции выражается как экспоненциальный интеграл, я решил применить другой подход.
Моя попытка
Я сделал следующее $$ \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx = \int_0^{\pi} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(i \zeta e^{ ix}\right)^n}{n!} \ dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i \zeta)^n}{n!} \int_0^{\pi} e^{nix} \ dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i \zeta)^n}{n! (in)}\left(\underbrace{e^{i\pi n}}_{(-1)^n} -1\right) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\zeta^ni^{n-1}}{(n+1)!} \left((-1)^n -1\right) $$ Чтобы затем проверить правильность моей процедуры, я использовал WolframAlpha для оценки обеих сторон уравнения для значения $\zeta = 1$. Отсюда я получил это$$ \int_0^{\pi} e^{i e^{ ix}} \ dx = 1.2494... \neq -0.9193... = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^{n-1}}{(n+1)!} \left((-1)^n -1\right) $$Я не уверен, где я сделал свою ошибку. Я считаю, что перестановка интеграла и суммы оправдана, поскольку я считаю, что сумма абсолютно сходится, но сейчас я не уверен.
Может ли кто-нибудь сказать мне, в чем моя ошибка? Или, в качестве альтернативы, может ли кто-нибудь сказать мне, как я могу оценить этот интеграл? Спасибо!
Изменить: благодаря комментариям я считаю, что могу упростить интеграл до$$ \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx = \pi -2\int_0^\zeta \frac{\sin(t)}{t} \ dt $$ Я не уверен, что подход, который я использовал, был хорошим способом показать это, но если у кого-то есть идеи о том, как я могу попасть сюда, я был бы очень признателен!
Ответы
Поигравшись с интегралом некоторое время, я считаю, что нашел способ решить интеграл и получить его в терминах $\text{Si}(\zeta)$.
Допустим, мы определяем $F(\zeta)$ в виде $$ F(\zeta) := \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx $$ Здесь мы замечаем, что $F(0) = \int_0^{\pi} 1\ dx = \pi$. Теперь, отсюда мы можем проанализировать производную от$F$ следующим образом: \begin{align} F'(\zeta) &= \frac{d}{d\zeta} \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx = \int_0^{\pi} \frac{\partial}{\partial \zeta }e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx =\int_0^{\pi}e^{i \zeta e^{ ix}}\left(e^{ix}\right)i\ dx \\ &\overset{\color{blue}{u=ix}}{=} \int_0^{i\pi}e^{i \zeta e^u} e^u \ du \overset{\color{blue}{s=e^{u}}}{=}\int_1^{-1}e^{i \zeta s} \ ds = \frac{e^{i \zeta s}}{\zeta i}\Bigg\vert_{s=1}^{s=-1} = \frac{1}{\zeta i}\left(e^{-i\zeta} - e^{i \zeta}\right)\\ &= -\frac{2}{\zeta} \left( \frac{e^{i\zeta}-e^{-i\zeta}}{2i}\right) = -2 \frac{\sin(\zeta)}{\zeta} \end{align}напомним, что мы можем положить производную как частную внутри интеграла из-за интегрального правила Лейбница. С другой стороны, по основной теореме исчисления легко увидеть, что$$ \frac{d}{d\zeta}-2\text{Si}(\zeta) =-2 \frac{d}{d\zeta} \int_0^\zeta \frac{\sin(t)}{t} \ dt = -2 \frac{\sin(\zeta)}{\zeta} $$ И поскольку мы нашли $2$ функции с одинаковой производной, мы знаем, что они должны быть одинаковыми с точностью до константы, или, другими словами, $$ F(\zeta) = -2 \int_0^\zeta \frac{\sin(t)}{t} \ dt + c $$ Но вспоминая исходное условие, которое у нас было, мы можем решить для значения константы следующим образом $$ F(0) = \pi = \int_0^0 \frac{\sin(t)}{t} \ dt + c = c $$ и поэтому мы получаем окончательный результат $$ \boxed{\int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx = \pi -2\int_0^\zeta \frac{\sin(t)}{t} \ dt} $$
Думаю, это решение актуально для любых $\zeta \in \mathbb{R}$, что означает, что я мог обобщить исходную проблему не только на положительные значения. Думаю, на этот раз я не упустил ни одной детали, но если да, то дайте мне знать!
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{\left.\int_0^{\pi}\expo{\ic\zeta{\large\expo{\ic x}}}\!\!\dd x \,\right\vert_{\ \zeta\ \in\ \mathbb{R}}} = \int_{\large z\ \in\ \expo{\large\ic\,\pars{0,\pi}}} \expo{\ic\,\zeta z}\,{\dd z \over \ic z} \\[5mm]= &\ \lim_{\epsilon \to 0^{\large +}}\bracks{% -\int_{-1}^{-\epsilon}\expo{\ic\,\zeta x}\,{\dd x \over \ic x} - \int_{\pi}^{0}\exp\pars{\ic\,\zeta\epsilon\expo{\ic\theta}} \,{\epsilon\expo{\ic\theta}\ic\,\dd\theta \over \ic \epsilon\expo{\ic\theta}} -\int_{\epsilon}^{1}\expo{\ic\,\zeta x}\,{\dd x \over \ic x}} \\[5mm] = &\ -\mrm{P.V.}\int_{-1}^{1}\expo{\ic\,\zeta x}\,{\dd x \over \ic x} + \pi = \pi - \int_{0}^{1}\pars{\expo{\ic\,\zeta x} - \expo{-\ic\,\zeta x}}\,{\dd x \over \ic x} \\[5mm] = &\ \pi - 2\int_{0}^{1}{\sin\pars{\zeta x} \over x}\,\dd x = \pi - 2\,\mrm{sgn}\pars{\zeta}\int_{0}^{\verts{\zeta}}{\sin\pars{x} \over x}\,\dd x \\[5mm] = &\ \bbx{\large\pi - 2\,\mrm{sgn}\pars{\xi}\,\mrm{Si}\pars{\verts{\zeta}}} \\ & \end{align} $\ds{\mrm{Si}}$является интегральной функцией синуса .