Оценка ожидания случайной величины

Question

Позволять $v_1 ,..., v_n \in \mathbb{R}^n$ - унитарные и линейно независимые векторы и $X_1,...,X_n$ независимые случайные величины (на определенном вероятностном пространстве) такие, что каждая $X_i$ имеет распределение Бернулли параметра $p_i \in [0,1]$.

а) Пусть $Y(w)= \sum _{i=1} ^n X_i(w) v_i$, вычислить ожидание $Z$, где $Z(w)= || Y(w) -v ||^2$ с участием $v= \sum _{i=1}^n a_i v_i \in \mathbb{R}^n $.

б) Пусть V =$ \{ \sum _{i=1}^n a_i v_i|a_i \in [0,1]\}$, покажите это для любого $v \in V$ существует $y \in V$ такой, что $|| y-v||^2\le \frac{ n}{4}$ и $y= \sum _{i=1}^n b_iv_i$, с участием $b_i \in \{0,1\}$. Подсказка: используя а).

Я нашел это упражнение в Интернете, и у меня возникли проблемы с решением пункта b). Я сделал пункт а) выбор$( \mathbb{R}^n, B, P)$ как вероятностное пространство, где B - борелевское $\sigma $-алгебры, а P равна мере произведения $X_i$раздачи. Я обнаружил, что ожидание Z равно\begin{align}&\sum _{i=1}^n \| (1-a_i)v_i + \sum_{j=1, j \neq i}^n (-a_j)v_j\|^2 p_i \prod_{j=1, j \neq i}^n (1-p_j)\\&+\sum _{i,j=1,i<j}^n \|(1-a_i)v_i +(1-a_j)v_j+ \sum _{k=1, k \neq i,j}^n (-a_k)v_k\|^2 p_i p_j \prod _{k=1, k \neq i,j}^n (1-p_k)+\dots\\&+\|\sum_{i=1}^n (1-a_i)v_i\|^2 \prod_{i=1}^n p_i .\end{align}

Я хотел бы знать, правильно ли мое решение пункта а), и получить совет по пункту б).

Спасибо

Answer 1

Я полагаю, что пункт b является основным вопросом упражнения, и это можно доказать следующим образом.

а)) Пусть $y=\sum x_i v_i$, где $x_i=1$ с вероятностью $p_i$ и $x_i=0$ с вероятностью $1- p_i$, независимо.

потом

$$\|y-v\|^2=\|\sum (x_i-a_i)v_i\|^2=\sum_{i,j=1}^n (x_i-a_i)(x_j-a_j)(v_i,v_j). $$

Так $$\Bbb E\|y-v\|^2=\sum_{i,j=1\, i\ne j}^n (p_ip_j(1-a_i) (1-a_i)-p_i(1-p_j)(1-a_i)a_j-(1-p_i)p_ja_i(1-a_j)+(1-p_i)(1-p_j)a_iaj_j)(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i(1-a_i)^2+(1-p_i)a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\sum_{i,j=1\, i\ne j}^n (p_i-a_i)^2(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i-2p_ia_i+a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\left(\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i, \sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i\right) -\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)^2(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i-2p_ia_i+a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\left\|\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i\right\|^2+ \sum_{i=1}^n (p_i-p_i^2)(v_i,v_i).$$

б)) Выбор $p_i=a_i$ для каждого $i$, получаем, что $$\Bbb E\|y-v\|^2=\sum_{i=1}^n (p_i-p_i^2)(v_i,v_i)=\sum_{i=1}^n p_i-p_i^2\le \sum_{i=1}^n \frac 14=\frac n4,$$ откуда следует точка b.