Ограничьте минимальное собственное значение симметричной матрицы матричными нормами
Я читаю статью, в которой авторы доказывают неравенство следующего вида:
$$\lVert H-H'\rVert_2 \leq \lVert H-H'\rVert_F \leq \epsilon \tag 1$$
Вот $H$ и $H'$ - симметричные вещественные матрицы ($H'$ имеет все положительные собственные значения, если это важно), а нормы $L_2$матричная норма и норма Фробениуса соответственно. Авторы безосновательно заявляют:
$$\lambda_\text{min}(H) \geq \lambda_\text{min}(H') - \epsilon \tag 2$$
где $\lambda_\text{min}$ - минимальное собственное значение матрицы.
Я не понимаю, как это оправдать, и даже если (2) вообще предполагается вывести из (1). Вот статья - конец доказательства леммы 3.2, стр. 6.
Ответы
Этот ответ основан на этом . Ниже мы будем работать с некоторым произвольным внутренним продуктом, и когда мы берем норму матрицы, это означает норму оператора, связанную с векторной нормой, которую мы используем. У нас есть:
Теорема. Если$A$ и $B$ действительно симметричны, то:
$$\lambda_\text{min} (A) \geq \lambda_\text{min} (B) - \lVert A-B\rVert$$ $$\lambda_\text{max} (A) \leq \lambda_\text{max} (B) + \lVert A-B\rVert$$
Чтобы доказать это, ключом является выражение $x^T Mx$, где $M$ является симметричной матрицей и $x$имеет единичную норму. Об этом выражении нам потребуются две леммы.
Лемма 1. Для любой матрицы$M$ и любая единичная норма $x$: $$-\lVert M\rVert \leq x^T Mx\leq \lVert M\rVert$$ Доказательство. Простое применение Коши-Шварца и определения операторной нормы:$$|x^TMx|\leq\lVert x\rVert \lVert Mx\rVert\leq \lVert x\rVert^2 \lVert M\rVert=\lVert M\rVert$$
Лемма 2. Для любой симметричной матрицы$M$ и любая единичная норма $x$: $$\lambda_\text{min}(M) \leq x^T M x \leq \lambda_\text{max}(M)$$ и оценки достигаются как $x$ изменяется по единичной сфере.
Доказательство. Позволять$M=P^TDP$ где $P$ ортогонален и $D$диагональный. потом$$x^TMx = (Px)^TD(Px)$$ Так как $x$ меняется по единичной сфере, $Px$ также варьируется по всей единичной сфере, поэтому диапазон последнего выражения выше просто диапазон $y^TDy$ так как $y$колеблется над единичной сферой. Согласно неравенству перестановки и некоторым другим простым аргументам минимум достигается, когда$y$ является собственным вектором, связанным с $\lambda_\text{min}(M)$ и максимум при $y$ является собственным вектором, связанным с $\lambda_\text{max}(M)$.
Наконец, мы можем доказать теорему. Для любой единичной нормы$x$, у нас есть
$$x^TAx = x^TBx + x^T(A-B)x$$
Применяя лемму 1 ко второму члену и лемму 2 к первому члену, минимум в левой части будет не меньше $\lambda_\text{min} (B)-\lVert A-B\rVert$. По лемме 2 мы знаем, что минимум левой части равен$\lambda_\text{min} (A)$. Аналогичное рассуждение показывает другое неравенство теоремы.