определение условной вероятности того, что результат второго испытания $1$, без явных вычислений

Question

вопрос: рассмотрите бесконечную последовательность независимых испытаний, где каждое испытание с равной вероятностью приведет к любому из результатов$1$, $2$, или же $3$. Учитывая, что результат первого испытания$1$, и результат $3$ является последним из трех возможных исходов, найдите условную вероятность того, что исход второго испытания будет $1$, без каких-либо явных вычислений .

позволять

1. $A_1$ = результат первого испытания - один

2. $A_2$ = результат второго испытания - один

3. $\text{third last}$ = исход три наступает после того, как произошли исходы один и два.

4. ${A}$обозначают бесконечную последовательность независимых испытаний, где каждое испытание с равной вероятностью приведет к любому из результатов$1$, $2$, или же $3$.

что нужно найти $P(A_2|A_1 \cap \text{third last})$, без явных вычислений

Мои рассуждения таковы :

1. учитывая этот результат $3$является последним из трех возможных результатов, теперь мы ограничены работой с подмножеством $A$где только результаты$1$ а также $2$ может случиться.
2. это подмножество $A$ сам по себе может быть бесконечной чередой независимых испытаний.
3. так как результаты $1$ а также $2$ были одинаково вероятны в $A$, Они должны быть в равной степени вероятно , в этом подмножестве из$A$где только результаты$1$ а также $2$ может случиться.
4. теперь вероятность того, что результатом второго следа будет единица, равна $0.5$ (так как есть всего 2 исхода, каждый из которых одинаково вероятен)
5. кроме того, информация об исходе первого испытания не изменит эту вероятность, поскольку первое и второе испытания по-прежнему независимы.

следовательно, $P(A_2|A_1 \cap \text{third last}) = \dfrac{1}{2}$, но данный ответ $\dfrac{1}{3}$.

редактировать:

1. $1,2,3,2,1,2,...$ это пример, когда результат первого испытания - один
2. $2,1,2,2,1,3,1,...$ это пример, когда результат $3$ последний из трех возможных исходов
3. $1,1,2,2,1,2,3,2,1.....$ это пример, когда результат первого испытания один, а исход $3$ последний из трех возможных исходов

edit2: обобщить все ответы и комментарии

1. позволять $X_i=j$ обозначить этот результат $i$ впервые произошло на $j^{th}$пробный. Затем я хотел найти$P(X_2 \neq 2\mid X_1=1, X_3>X_2)$, но в итоге я вычислил $ P(X_2 \neq 2\mid X_1=1,X_3\neq 2)$ - JMoravitz

2. $P(A_2|A_1 \cap \text{third last}) = \dfrac{1}{2}$ это неправда, потому что должна быть $2$ между $1$ а также $3$. Это означает, что между результатами нет симметрии.$1$ а также $2$больше для второго испытания. - cr001

3. Зная $3$ является последним из чисел, которые появляются в каждый момент, что $2$ пока не появился, немного перекосим цифры в пользу $2$затем появиться так, как будто ему «суждено было явиться» . - JMoravitz

Answer 1

$P(A_2|A_1 \cap \text{third last}) = \dfrac{1}{2}$ неправда, потому что должна быть $2$ между $1$ а также $3$. Это означает, что между результатами нет симметрии.$1$ а также $2$ больше для второго испытания.

Рассмотрим крайний случай, когда эксперимент заканчивается ровно $3$испытания. В этом подсценарии второе испытание имеет вероятность$1$ привести к результату $2$, нет $1\over 2$.

Конечно, вышеупомянутый частичный случай не является всей выборкой, и вычислить эту вероятность непросто. Для этого вам нужно суммировать бесконечное количество вещей, масштабируемых по вероятности каждого случая.

Самый простой способ - обратиться к теореме Байеса для решения исходной проблемы.

В соответствии с теоремой Байеса, мы имеем

$$P(A_2 \cap A_1 | \text{third last})\cdot P(\text{third last})$$ $$=P(\text{third last}|A_2 \cap A_1 )\cdot P(A_2 \cap A_1 )$$

Уведомление, $$P(\text{third last})={1\over 3}$$ $$P(\text{third last}|A_2 \cap A_1 )={1\over 2}$$ $$P(A_2 \cap A_1 )={1\over 9}$$

Обратите внимание, второе равенство исходит из того факта, что исход $1$ не может быть последним и существует полная симметрия между результатами $2$ а также $3$.

Answer 2

Итак, если я правильно понимаю, общее пространство основано на $\Omega_0 =\{1,2,3\}$ и является $\Omega_0^{\Bbb N}$. Элемент в этом пространстве будет обозначен словом в алфавите$\Omega_0$. Измеримые множества, начинающиеся с конечного слова$w$ с последующими любыми другими доработками будем обозначать $w*$. Так$122113*$ измеримый набор всех слов, начинающихся с $122113$. Я буду использовать вопросительный знак для одной и только одной цифры / "буквы" среди$1,2,3$.

Затем ОП занимается событиями $A_1=1*$, $A_2=?1*$, а также $T=1^+2\{1,2\}^*3*\ \cup\ 2^+1\{1,2\}^*3*$. Здесь,$1^+$ это шаблон для непустого слова, построенного из единиц, и $\{1,2\}^*$ это (возможно, пустое) слово, построенное из $1,2$.

Мы разделяем пространство $A_2\cap T$ явно в кусках: $$ \begin{aligned} B &= 11\; \{1\}^*\;2\;\{1,2\}^*\; 3*\ ,\\ C &= 21\; \{1,2\}^*\; 3*\ . \end{aligned} $$ потом $B\sqcup C=A_2\cap T$, а необходимая условная вероятность равна $p$ ниже, и мы вычисляем ... $$ \begin{aligned} p&= \frac{\Bbb P(B)}{\Bbb P(B)+\Bbb P(C)}\ , \\[2mm] \Bbb P(C) &= \Bbb P(21\; \{1,2\}^*\; 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot\Bbb P( \{1,2\}^*\; 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot\left(\sum_{k\ge0}\left(\frac 23\right)^k\right) \cdot\Bbb P( 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot\frac 1{1-\frac 23} \cdot\Bbb P( 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot\frac 1{1-\frac 23} \cdot\frac 13\ , \\[2mm] \Bbb P(B) &= \Bbb P(11\; \{1\}^*\;2\;\{1,2\}^*\; 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot\Bbb P(\{1\}^*\;2\;\{1,2\}^*\; 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot \left(\sum_{k\ge0}\left(\frac 13\right)^k\right) \cdot\Bbb P(2\;\{1,2\}^*\; 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot \frac 1{1-\frac 13} \cdot\Bbb P(2\;\{1,2\}^*\; 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot \frac 1{1-\frac 13} \cdot \frac 13 \cdot \Bbb P(\{1,2\}^*\; 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot \frac 1{1-\frac 13} \cdot \frac 13 \cdot \left(\sum_{k\ge0}\left(\frac 13\right)^k\right) \cdot\Bbb P(3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot \frac 1{1-\frac 13} \cdot \frac 13 \cdot \frac 1{1-\frac 23} \cdot \Bbb P(3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot \color{blue}{ \frac 1{1-\frac 13} \cdot \frac 13} \cdot \frac 1{1-\frac 23} \cdot \frac 13 \\[3mm] &\qquad\text{So we have the proportion $\ Bbb P (C): \ Bbb P (B)$ equal to $1$ : $\ color {blue} {\ frac 12}$.} \\[3mm] &\qquad\text{Finally:} \\ p&=\frac{\Bbb P(B)}{\Bbb P(B)+\Bbb P(C)} =\frac{\color{blue}{\frac 12}}{\color{blue}{\frac 12}+1}=\frac 13\ . \end{aligned} $$Это было подробно написано для быстрого чтения паттернов. Чтобы сразу увидеть результат, нужно понять, какой (синий) фактор имеет значение.

---

Это синяя часть, когда мы сравниваем: $$ \begin{aligned} B &= \color{green}{11}\; \color{blue}{\{1\}^*\;2}\;\{1,2\}^*\; 3*\ ,\\ C &= \color{red}{21} \; \{1,2\}^*\; 3*\ . \end{aligned} $$ (И зеленая / красная части имеют такой же вклад.)