Отрицание «если A, то B» (как доказать, что «если A, то B» неверно)
Я знаю, что эта тема обсуждалась и раньше, но я так и не нашел ответа на свой конкретный вопрос.
Я знаю, что отрицание «Если А, то Б» - это «А, а НЕ Б».
Но я хотел прояснить, что определяет истину / ложь для утверждений A и NOT B.
Например, предположим, что утверждение «если А, то Б» верно. Тогда, насколько я понимаю, из этого следует, что «А, а НЕ Б» всегда должны быть ложными.
Однако предположим, что утверждение «если А, то В» неверно. Тогда всегда ли будет верным утверждение «А, а НЕ Б»? Или это хотя бы один случай, когда «А, а НЕ Б» верно?
Чтобы сделать мой вопрос еще яснее, если бы я хотел доказать, что «если бы А, то В» действительно было ложью, мне нужно было бы показать, что «А и НЕ Б» всегда верно, или достаточно показать только один случай, когда это правда?
Благодаря!
Ответы
Например, предположим, что утверждение «если А, то Б» верно. Тогда, насколько я понимаю, из этого следует, что «А, а НЕ Б» всегда должны быть ложными.
Быть правдой - это не тавтология, поэтому из этого не следует, что «А и НЕ Б» всегда должны быть ложными. Вместо этого предположим, что «если А, то В» - тавтология, это означает, что ее отрицание всегда должно быть ложным, т.е. противоречием.
Эйдт: Это правильно, если вы имеете в виду, что «А, а НЕ Б» всегда ложно в тех случаях, когда «если А, то Б» верно.
Однако предположим, что утверждение «если А, то В» неверно. Тогда всегда ли будет верным утверждение «А, а НЕ Б»? Или это хотя бы один случай, когда «А, а НЕ Б» верно?
Если мы знаем, что «если A, то B» ложно в некоторых фиксированных случаях, тогда «A и НЕ B» должны быть истинными в этих случаях, и если эти случаи охватывают все возможные случаи, тогда да, что
$$\text{($'$A and NOT B$'$ always be true) hold, i.e. this would be a tautology}$$
Однако, когда мы говорим «если A, то B» ложно, обычно это означает, что это неверно в каком-то конкретном случае, скажем, в случае C. Это there is at least one case where "A and NOT B" is trueверно. Будьте конкретны, потому что это правда в случае C.
Чтобы сделать мой вопрос еще яснее, если бы я хотел доказать, что «если бы А, то В» действительно было ложью, мне нужно было бы показать, что «А и НЕ Б» всегда верно, или достаточно показать только один случай, когда это правда?
Если мы хотим доказать, что «если A, то B» действительно ложно в некотором случае C, то достаточно показать, что в случае C «A and NOT B» истинно.
По той же причине, если мы хотим доказать, что «если А, то В» всегда ложно, то нам нужно показать, что «А и НЕ Б» всегда истинно.
Давайте посмотрим на таблицу истинности $A \rightarrow B$, у нас есть $$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline A & B & A\rightarrow B \\ \hline T & T & T \\ T & F & F \\ F & T & T \\ F & F & T \\ \hline \end{array} $$
Единственный случай получить $False$ ценность - это когда $A$ является $True$ и $B$ является $False$. Итак, чтобы получить такой результат, вам нужно только показать, что$B$ является $False$. надеюсь, это поможет
Вот таблица истинности для $(\neg(A\to B)\to (A \land \neg B))$:
Как видите, это всегда правда.
Логическое следствие часто определяется как:
$A\to B~~\equiv ~~ \neg (A \land \neg B)$
Эту эквивалентность также можно формально доказать из первых принципов, используя форму естественного вывода:
