Первая фундаментальная форма

Question

Wolfram MathWorld определяет параболоид и его дифференциальные параметры как

\begin{align*} P&=\left(\frac{\partial x}{du}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{du}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{du}\right)^2= \\ &=1+\frac{1}{4u} \\ Q&=\frac{\partial x}{du}\frac{\partial x}{dv}+\frac{\partial y}{du}\frac{\partial y}{dv}+\frac{\partial z}{du}\frac{\partial z}{dv}= \\ &=\frac{1}{2\sqrt{u}}(\cos v - \sin v) \\ R&=\left(\frac{\partial x}{dv}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{dv}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{dv}\right)^2= \\ &=u \\ \end{align*}

Теперь, если эти параметры соответствуют коэффициентам $E$, $F$ и $G$описанный здесь , я не понимаю, как они пришли к выражению для$Q$.

Answer 1

Несмотря на другие комментарии / ответы, эти величины являются обычной первой фундаментальной формой. Обратите внимание, что ссылка Wiki определяет$g_{ij} = X_i\cdot X_j$. Это обычные$E,F,G$, и они являются скалярными произведениями производных параметризации по независимым переменным. В вашем случае первый параметр$u$ а второй параметр - $v$, и у нас действительно есть \begin{align*} P&=X_u\cdot X_u=E,\\ Q&=X_u\cdot X_v=F, \quad\text{and} \\ R&=X_v\cdot X_v=G. \end{align*} Я не уверен, почему Wolfram использует разные буквы.

Если вам нужна дополнительная информация, ознакомьтесь с моим текстом о дифференциальной геометрии .

Answer 2

Первая фундаментальная форма - это внутренний продукт касательного пространства в некоторой точке поверхности, когда вы рассматриваете поверхность, содержащуюся в окружающем пространстве. $\mathbb{R}^3$. Если у вас есть параболоид$z=b(x^2+y^2)$, то касательные векторы поверхности, образующей касательное пространство, равны

$v=[1,0, 2bx]$

и

$w=[0,1,2by]$

На этом этапе коэффициенты первой фундаментальной формы можно вычислить следующим образом

$E=\langle v, v \rangle=1+4b^2x^2$

$F=4b^2xy $

$G=1+4b^2y^2$

В вашей ссылке о параболоиде я предполагаю, что аргумент - геодезическая на параболоиде.