По крайней мере, одна четко определенная циклическая подгруппа группы $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$, для премьер $p$.

Aug 17 2020

Рассмотрим целые числа вида

$\quad pq + 1, \text{where 0 } \lt q \le p $

Соответствующий набор классов вычетов $\{[pq + 1]\}$ образуют циклическую группу порядка $p$ с генератором $[p + 1]$.

Пример: если $p = 11$ тогда $12$ порождает циклическую подгруппу порядка $11$ в $(\mathbb{Z}/{121}\mathbb{Z})^\times$:

$\; {[12]}^1 \equiv \;\;\, 12 \pmod {121}$
$\; {[12]}^2 \equiv \;\;\, 23 \pmod {121}$
$\; {[12]}^3 \equiv \;\;\, 34 \pmod {121}$
$\; {[12]}^4 \equiv \;\;\, 45 \pmod {121}$
$\; {[12]}^5 \equiv \;\;\, 56 \pmod {121}$
$\; {[12]}^6 \equiv \;\;\, 67 \pmod {121}$
$\; {[12]}^7 \equiv \;\;\, 78 \pmod {121}$
$\; {[12]}^8 \equiv \;\;\,89 \pmod {121}$
$\; {[12]}^9 \equiv\; 100 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{10} \equiv 111 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{11} \equiv\;\;\;\, 1 \pmod {121}$

У меня есть прямое доказательство вышеизложенного с использованием теории евклидова деления (представления), но мне было бы интересно увидеть другие доказательства (или ссылки / ссылки). Также ссылка на Википедию

$\quad$ Мультипликативная группа целых чисел по модулю $n$

состояния

... хотя даже для премьер $n$ общая формула для поиска генераторов неизвестна.

Поэтому меня также интересует какой-либо частичный прогресс, достигнутый в этой области, определение порядка элементов в ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$.

Ответы

CopyPasteIt Aug 23 2020 at 12:18

Здесь мы строим по образцу большую циклическую группу $K_{2p}$ создано $[p-1]$ в $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$ за $p \ge 5$.

Группа $K_{2p}$ имеет $2p$ элементы.

Задавать $k = p-1$, четное целое число.

Определите список чисел, начиная с $p-1$ и увеличиваясь на $2p$ оставаясь внизу $p^2 - 1$,

$\quad G_1: p-1, p-1+2p, p-1+4p, \dots, p-1+(k-1)p$

Теперь добавьте $p$ к каждому номеру, чтобы создать второй список,

$\quad G_2: 2p-1, 2p-1+2p, 2p-1+4p, \dots, 2p-1+kp$

В $\text{[.]}_{\, p^2}$ остатки набора чисел в $G_1 \cup G_2$ точно $k$ генераторы для $K_{2p}$ имея заказ $2p$.

Продолжая, мы определим другой список чисел, начиная с $p+1$ и увеличиваясь на $2p$
(эквивалентно добавить $2$ к каждому номеру в $G_1 \cup G_2$),

$\quad H_1: p+1, p+1+2p, p+1+4p, \dots, p+1+(k-1)p$

Теперь добавьте $p$ к каждому номеру, чтобы создать второй список,

$\quad H_2: 2p+1, 2p+1+2p, 2p+1+4p, \dots, 2p+1+(k-1)p$

В $\text{[.]}_{\, p^2}$ остатки набора чисел в $H_1 \cup H_2$ точно $k$ элементы в $K_{2p}$ имея заказ $p$.

поскольку $2p - 2k = 2$ есть два элемента, которые необходимо учесть в $K_{2p}$. Но это два элемента$\{[1],[p^2-1]\}$ удовлетворение $x^2 = 1$.