Почему эта последовательность не сходится равномерно?
В этой проблеме объясняется, что $f_n(x)$поточечно сходится, но не равномерно. Также дается объяснение, почему не всегда сходится. Однако я не могу этого понять, когда я использую приведенную ниже теорему, я получаю этот предел$f_n - f = 0$ Может быть, кто-нибудь даст мне более подробный ответ, почему последовательность сходится равномерно?
Ответы
поскольку $\displaystyle(\forall n\in\Bbb N):\left|f_n\left(\frac1{2n}\right)\right|=\frac n4$, у вас есть $\displaystyle\sup_{x\in[0,1]}\left|f_n(x)\right|\geqslant\frac n4$. Другими словами,$\displaystyle\|f-f_n\|_\infty\geqslant\frac n4$и, в частности, это не правда , что$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\|f-f_n\|_\infty=0$. Итак, сходимость не равномерная.
Во-первых, вы должны определить поточечный предел. Позволять$x\in[0,1]$. За$n>1/x$, $f_n(x)=0$, поэтому поточечный предел равен $0$.
Как видно из объяснения, мы имеем $\|f_n\|_\infty=n/4$. Таким образом,$\lim_{n\rightarrow\infty}\|f_n\|_\infty=\lim_{n\rightarrow\infty}n/4=\infty$ и используя процитированную вами теорему, предел расхождения супремы эквивалентен $f_n$ не сходятся равномерно.
По определению сходимости последовательности в нормированном (или в общем метрическом пространстве) пространстве последовательность (fn) не может сходиться к f, потому что норма (здесь это sup-норма) (fn - f)> = 1/4 для всех п.