Почему прямое движение обратимого пучка на BG к его грубой схеме необратимо?
Мой вопрос действительно касается конкретного примера. Позволять$G = \mu_2$ - циклическая группа порядка 2. Пусть $* := \text{Spec }\mathbb{C}$, и разреши $BG := [*/\mu_2]$ коэффициент стека, где $\mu_2$ действует тривиально на $*$. Позволять$\mathcal{O}_{BG}$ обозначим структурный пучок, и пусть $L$ обозначим обратимый пучок на $BG$ соответствующему нетривиальному представлению $\mu_2$ на $\mathbb{C}$. Таким образом,$L(*\rightarrow BG) = \mathbb{C}$, и действие $\mu_2$ на $*\rightarrow BG$ индуцирует инверсионное действие $\mu_2$ на $\mathbb{C}$.
Позволять $c : BG\rightarrow *$обозначим каноническое отображение на его грубую схему. Я слышал, что если$L$ обозначает обратимый пучок на $BG$ дается нетривиальным представлением $\mu_2$ на $\mathbb{C}$, тогда $c_*L$ не обратима на $*$. Однако, следуя определениям (см. Ниже), кажется, что$c_*L$ действительно обратим на $*$. Где я ошибся?
По определению pushforward, я считаю, что глобальные разделы $c_*\mathcal{O}_{BG}$ должно быть равно пределу
$$\lim\mathcal{O}_{BG}(*\rightarrow BG)$$ где предел пробегает все морфизмы $f : *\rightarrow BG$ удовлетворение $c\circ f = \text{id}_*$. Поскольку группа автоморфизмов$*\rightarrow BG$ действует тривиально на $\mathcal{O}_{BG}$, это только предел двухобъектной диаграммы $\mathbb{C}\stackrel{\text{id}}{\rightarrow}\mathbb{C}$, которая представляет собой диагональ в $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$.
Точно так же глобальные разделы $c_*L$ должен быть пределом двух объектной диаграммы $\mathbb{C}\stackrel{-1}{\rightarrow}\mathbb{C}$, который представляет собой просто набор пар $\{(a,-a) : a\in\mathbb{C}\}$.
Действие $c_*\mathcal{O}_{BG}$ на $c_*L$ должно быть покоординатным умножением диаграммы $\mathbb{C}\stackrel{\text{id}}{\rightarrow}\mathbb{C}$ на диаграмме $\mathbb{C}\stackrel{-1}{\rightarrow}\mathbb{C}$. Т.е. на глобальных разделах действие$$c_*\mathcal{O}_{BG}\times c_*L\longrightarrow c_*L$$ должно быть просто дано $((r,r),(a,-a)) \mapsto (ra,-ra)$. Кажется, это делает$c_*L$ в обратимую связку на $*$, но я слышал, что на самом деле это неправда. Где я ошибся?
Ответы
Продвижение $c_{\ast}L$ должен быть предел диаграммы с одним объектом »$\mathbb{C}$"и два (авто) морфизма"$\mathrm{id} : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$" и "$-1 : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$"; другими словами, это эквалайзер $\mathrm{id}$ и умножение на ($-1$); таким образом на самом деле$c_{\ast}L = 0$.
Более общее утверждение: при соответствии между квазикогерентными $\mathcal{O}_{BG}$-модули и $G$-представления, функтор продвижения вперед $c_{\ast}$ соответствует $G$-инвариантный функтор.
Если мы заменим $\mathbb{C}$ полем характеристики 2, то мы должны быть осторожны - в общем, квазикогерентный $\mathcal{O}_{B(\mathbb{Z}/(2))}$-модули $\mathbb{Z}/(2)$-представления и квазикогерентные $\mathcal{O}_{B\mu_{2}}$-модули $\mathbb{Z}/(2)$-градуированные векторные пространства (прямой ход здесь соответствует получению степени $0$ градуированный компонент).