Почему у нас $\hbar$ в коммутационном отношении?
Давайте думать о постоянной Планка как о наклоне зависимости дисперсии электромагнитного поля, $E=\hbar \omega$. Постоянная Планка не зависит от заряда электрона, оба значения можно масштабировать, если постоянная тонкой структуры остается неизменной. Тем не менее, часто бывает удобно использовать и то, и другое.
Когда мы начинаем изучать QM, задолго до того, как мы переходим к QED, нас учат, что постоянная Планка является кратной $i$в отношении канонического квантования. Почему??
Не поймите меня неправильно, я полностью согласен с тем фактом, что он появляется в исследованиях осциллятора. Это может быть просто размерная величина, через которую выражаются другие величины, имеющие те же единицы.
Но обычно нам говорят что-то совсем другое. В духе «этого номера$\hbar$ в $[q,p]=i\hbar$ это постоянная Планка, значение которой ..., и она устанавливает масштаб, в котором физика начинает быть квантовой ".
Представьте себе мир без КЭД, только с сильно взаимодействующими кварками и глюонами. Какое число они поставили бы в коммутационное соотношение при обучении старшеклассников?
Ответы
Этот вопрос иллюстрирует одну из фундаментальных проблем в преподавании физики. Нам нужно сначала научиться более легким вещам, потому что мы люди, но это находится в прямом противоречии с желанием изучать вещи в логически ясной последовательности (сначала самые глубокие аксиомы, а потом все остальное выводят из них).
Мы учим $E=\hbar\omega$для фотонов в первую очередь, потому что так проще. Затем мы изучаем нерелятивистскую КМ, а затем изучаем КЭД. Но причина появления такой же постоянной$\hbar$ в обоих $E=\hbar\omega$ (для фотонов) и в $[q,p]=i\hbar$ нерелятивистская КМ (не имеющая фотонов) происходит от КЭД!
Для этого конкретного случая вот возможное решение: после того, как студенты узнают, что $E=\hbar\omega$Для фотонов отметьте, что это частный случай отношения, которое работает для частиц любой массы, а не только для безмассовых. В частности, то же соотношение верно и для массивных частиц в нерелятивистской КМ. Теперь, после введения некоторых основ нерелятивистской КМ, мы можем объявить, что фактор$\hbar$ действительно происходит из коммутационных соотношений, и тогда мы можем показать им, как вывести реальное значение $E=\hbar\omega$ по этой более глубокой причине (для массивных частиц).
К тому времени, когда студенты будут готовы изучать нерелятивистский КМ, они уже должны быть знакомы с общим фактом, что последовательность «сначала простые дела» часто отличается от логически ясной последовательности, поэтому они должны быть открыты для перестройки своей представление о том, откуда «берется» постоянная Планка, когда они изучают нерелятивистскую КМ. И однажды ученики увидят, как фактор$\hbar$ в $E=\hbar\omega$ возникает из коммутационных соотношений в нерелятивистской КМ, они должны быть открыты для идеи, что нечто подобное может быть истинным в более общем смысле, поэтому они должны быть открыты для такого утверждения:
Позже, когда вы узнаете о релятивистской КЭД, вы увидите, что соотношение $E=\hbar\omega$ для фотонов получает коэффициент $\hbar$ из того же источника: коммутационные отношения.
Это не идеальное решение, потому что студенты могут предположить, что «коммутационные отношения» означают «между наблюдаемым положением и наблюдаемым импульсом», что неверно в КЭД. Однако у этой проблемы есть простое решение, которое странным образом отсутствует в стандартной учебной программе: после обучения нерелятивистской КМ и перед обучением КЭД обучите нерелятивистской КТП! Нерелятивистская КТП является отличным педагогическим мостом по многим причинам, и это одна из таких причин. Используя нерелятивистскую КТП, где математика проста, мы можем показать студентам, как соотношение коммутации положение-импульс возникает из соотношения коммутации поле-поле. Отсюда мы узнаем, почему мы не можем построить оператор строгого положения в релятивистском случае - и почему мы все еще можем получить$E=\hbar\omega$ непосредственно из отношения коммутации поле-поле - это должен быть относительно простой концептуальный шаг.
Это не зависит конкретно от КЭД, но является следствием общего свойства квантовой механики, что импульс является сопряженным по Фурье положению или, альтернативно, из решения уравнения Шредингера. В натуральных единицах преобразования Фурье содержится член$e^{ix\cdot p}$. Отсюда следует, что естественные единицы количества движения равны 1 / [длина], и аналогично естественные единицы энергии - 1 / [время]. Так же, как теория относительности показывает, что естественные единицы расстояния такие же, как и единица времени ($c=1$), квантовая механика показывает, что естественными единицами энергии являются $\mathrm s^-1$. Другими словами,$\hbar$это просто константа преобразования между натуральными единицами и энергией (или массой). Это отражено в текущем определении килограмма в системе СИ в терминах постоянной Планка.