Покажи это для $a_i>0$ и $n \ge 2$ : $\prod_{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right)>1+\sum_{i=1}^{n}a_{i}$ [дубликат]

Dec 14 2020

Покажи это для $a_i>0$ и $n \ge 2$ верно следующее: $$\prod_{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right)>1+\sum_{i=1}^{n}a_{i}$$


Я знаю, что правая часть действительно: $$\sum_{I \subseteq\left\{1,..,n\right\}}^{}\prod_{i \in I}^{ }a_{i}$$ Что можно записать так:

$$1+\sum_{ I \subseteq\left\{1,..,n\right\},\\\left|I\right|\ne0,1}^{}\prod_{i \in I}^{ }a_{i} +\sum_{i=1}^{n}a_{i}$$ Отсюда легко следует результат. Также можно использовать индукцию по $n$: Базовый случай верен, поскольку $$\prod_{i=1}^{2}\left(1+a_{i}\right)=1+a_{1}+a_{2}+a_{1}a_{2}>1+a_{1}+a_{2}=1+\sum_{i=1}^{2}a_{i}$$

Предположим, что соотношение верно для $n$ и умножим обе части отношения на $(1+a_{n+1})$:

$$\prod_{i=1}^{n+1}\left(1+a_{i}\right)>1+\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}+a_{n+1}\sum_{i=1}^{n}a_{i}>1+\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}$$

Показывает, что требование действительно для всех $n \ge 2$.

Верно ли то, что я сделал, и есть ли способ лучше?

Ответы

ZAhmed Dec 14 2020 at 19:09

Если $a_k>0$, тогда $$(1+a_1)(1+a_2)=1+a_1+a_2+a_1a_2 \implies (1+a_1)(1+a_2)>1+a_1+a_2$$ $$\implies (1+a_1)((1+a_2)(1+a_3)> (1+a_1+a_2)(1+a_3)>(1+a_1+a_2+a_3).$$ Точно так же продолжайте делать это несколько раз, чтобы получить $$(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)......(1+a_n) >1+a_1+a_2+a_3+.....+a_n.$$