Помогите с доказательством следствия из аксиом сложения и умножения

Question

Читая Анализ 1 Владимира Зорича, я столкнулся с этим доказательством, в котором есть один шаг, который я не могу понять. Вот следствие и доказательство:

Для каждого $x\in \mathbb R$ верно следующее

$$-x=(-1)\cdot x$$

Доказательство. $\ \ x+(-1)\cdot x=\underbrace{(1+(-1))\cdot x}_\text{Which of the axioms were used here ?}= 0 \cdot x=x \cdot 0 = 0$. Предположение следует из однозначности отрицания числа.

Конец доказательства.

Подчеркнутая часть - это то, чего я не понимаю. Какие аксиомы сложения и умножения использовались, чтобы составить это выражение?

Answer 1

Обратите внимание, что $1\in\Bbb{R}$ - особый элемент множества со свойством, что для каждого $x\in \Bbb{R}$, $1\cdot x = x\cdot 1 = x$. Далее мы также используем закон распределения, который для всех$a,b,c\in\Bbb{R}$, $a\cdot(b+c) = a\cdot b + a \cdot c$. Следовательно, \ begin {align} x + (-1) \ cdot x & = 1 \ cdot x + (-1) \ cdot x \ tag {свойство$1$} \\ & = [1 + (-1)] \ cdot x \ tag {закон распределения} \ end {align} Дальнейшее доказательство следует после того, как вы установите, что для каждого$x\in\Bbb{R}$, $0\cdot x = 0$.

Answer 2

принцип распределения: $a(b+c) = ab + ac$.

Итак, доказательство выглядит так:

$x + (-1)x = 1\cdot x + (-1)\cdot x$ (по наличию и определению мультипликативной идентичности)

$=(1+(-1))\cdot x$ (по распределению)

$=0\cdot x$ (по определению аддитивного обратного)

$=x\cdot 0$ (коммуникативность умножения, но я понятия не имею, почему он это сделал)

$= 0$(Это не аксиома, но можно доказать утверждение, что$0\cdot x = 0$. Вы это уже доказали? Спивак использует это как аксиому?)

Тогда по определению мы имеем, что для каждого $x$ существует уникальный $-(x)$ так что $x + (-x) = 0$.

Если у нас когда-нибудь будет $a$ так что $x + a = 0$ это должно быть так $a=-x$поскольку мультипликативный обратный единственный. В виде$x + (-1)x =0$ Это должно быть $(-1)x = -x$.

======

Опора: $x\cdot 0 = 0$.

Pf: $x\cdot 0 + (-(x\cdot 0)) = 0$. (Каждый элемент$a$, включая $x\cdot 0$, имеет аддитивную инверсию, $-a$, так что $a + (-a) =0$.)

$x\cdot(0 + 0) + (-(x\cdot 0)) = 0$ ($0=0+0$ потому как $0$ аддитивная идентичность и $a +0 = a$ для всех $a$, в том числе когда $a$ является $0$.)

$(x\cdot 0 + x\cdot 0) + (-(x\cdot 0)) = 0$ (распределенность)

$x\cdot 0 + (x\cdot 0 + (-(x\cdot 0)) = 0$ (ассоциативность)

$x\cdot 0 + 0 = 0$ (определение аддитивной идентичности)

$x\cdot 0 = 0 $ ($a + 0= a$ для всех $a$ по определению аддитивной идентичности.)