Понимание доказательства $v\in S$ такой, что $v\in\text{span}(S\setminus \{v\}) \implies S$ линейно зависима.

Question

Итак, я пытаюсь понять доказательство, представленное Титу Адрееску для обратной теоремы:

Позволять $S$ быть набором векторов в некотором векторном пространстве $V$. потом$S$ линейно зависима тогда и только тогда, когда существует $v\in S$ такой, что $v\in\text{span}(S\setminus\{v\})$

Доказательство обратного будет следующим:

Предположим, что есть $v\in S$ такой, что $s\in\texttt{span}(S\setminus \{v\})$. Это означает, что мы можем найти$v_1, v_2, \dots, v_n \in S\setminus v$ и скаляры $a_1, \dots, a_n$ такой, что $v = a_1 v_1 + \dots + a_n v_n$ но потом $1\cdot v + (-a_1) v_1 + \dots + (-a_n) v_n = 0$ и векторы $v, v_1, \dots, v_n$линейно зависимы. поскольку$v \not\in \{v_1, \dots, v_n \}$, это следует из того $S$ имеет конечное подмножество, которое линейно зависит, и поэтому $S$линейно зависима. Результат следует.

Теперь у меня есть большая часть доказательства, но я думаю, что этого должно быть достаточно, чтобы сделать вывод, что S линейно зависит от $1\cdot v + (-a_1) v_1 + \dots + (-a_n) v_n = 0$ однако Титу утверждает, что $S\setminus \{v\}$ является линейно зависимым подмножеством $S$ (что я не понимаю, как это следует из $v \not\in \{v_1, \dots, v_n \}$) и заключает, используя это, чтобы доказать, что $S$ наличие линейно зависимого подмножества подразумевает, что S линейно зависима.

Пожалуйста, помогите мне разобраться в этом доказательстве. Спасибо.

Answer 1

Позволять $v\in S$ такой, что $v\in \text{span}(S \setminus \{{v}\})$ так существует $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ такой, что

$$ v = \alpha_1 v_1 + \ldots + \alpha_n v_n, v_i \in S \setminus \{v\} $$

Я думаю то что $v \notin \{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ служит, чтобы увидеть, что действительно $\{v,v_1,\ldots,v_n\}$линейно зависима. Почему ?, если некоторые$v_i=v$ предположить $v_1$ у тебя есть

$$ (1-\alpha_1)v_1 + \alpha_2 v_2 + \ldots + \alpha_n v_n = 0 $$

И ты не мог этого сказать $\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ линейно зависима.

Однако я считаю очевидным, что $\{v,v_1,\ldots,v_n\} \subseteq S$ линейно зависит, потому что они уже говорят вам, что $v_i \in S \setminus \{v\}$.

Обратите внимание, что если $S$ есть подмножество, линейно зависимое, $S$ линейно зависима.