Постоянная последовательность частичных сумм расходящегося ряда

Aug 16 2020

В гармоническом ряду имеем $$|H_{2n}−H_n|\geq \frac{1}{2}$$ для всех $n$, что подразумевает расхождение. Однако частичные суммы от$n$ к $2n$, оценивается в $n$, равно $\ln(2)$ для всех $n$. Разве это не означает, что последовательность частичных сумм сходится к значению$\ln(2)$, что, в свою очередь, означает, что ряд должен сходиться? Мне кажется, я не понимаю чего-то фундаментального о критерии Коши, сходимости и т. Д. - разве это не последовательность частичных сумм из-за забавных вещей, которые мы делаем с интервалом? Спасибо за вашу помощь.

Ответы

3 PacoAdajar Aug 15 2020 at 23:09

Во-первых, мелочь: частичные суммы от $n$ к $2n$ подход $\ln{2}$, но никогда не сравняется. (Зачем?)

Во-вторых, более важная вещь: на самом деле, вы показали, что последовательность частичных сумм $\{ H_n\}$не является Коши и, следовательно, не сходится. Действительно, если бы это был Коши, то по определению$|H_{2n} - H_n| \to 0$. Это потому, что для любого$\epsilon > 0$, должно было бы существовать $N(\epsilon)$ для которого $|H_m - H_n| < \epsilon$ всякий раз, когда $m, n > N(\epsilon)$; затем мы выбираем$m = 2n$ Вот.