Постороннее решение от подстановки в уравнения
Я наткнулся на этот пример того, как можно получить постороннее решение, но мне было интересно, как оно возникло. У нас есть уравнение:$$x^2+x+1=0 $$ Поскольку x = 0 не удовлетворяет уравнению, вы можете разделить на x с обеих сторон, что дает: $$x+1+\frac{1}{x}=0$$что эквивалентно нашему первому уравнению. Из нашего первого уравнения мы можем сделать вывод, что:$$-x^2=x+1$$ Теперь подставим это во второе уравнение, чтобы получить:$$x^2=\frac{1}{x}$$ что приводит к $$x^3=1$$что эквивалентно нашему предыдущему уравнению, поскольку x не может быть 0. Однако одно решение из нашего последнего уравнения - x = 1, которое не является решением нашего исходного уравнения. У меня смутное представление, что это может быть связано с тем фактом, что вы получили кубическое уравнение и начали с квадратичного, и что шаги подразумевают следующее, а не наоборот, но можете ли вы дать очень подробный ответ, почему это возникает? Не могли бы вы привести еще примеры?
Ответы
Если мы позвоним $A(x)=x^2+x+1$ а также $B(x)=x+1+\frac1x$, мы можем схематизировать ваши отрывки как таковые: $$A(x)=0\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ A(x)=0 \\B(x)=0\end{cases}\stackrel{!!!}\Rightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)-A(x)=0\end{cases}$$
Принимая во внимание, что для сохранения эквивалентности вы должны были сохранить $A(x)=0$ в $\begin{cases}x\ne0\\ B(x)-A(x)=0\\ A(x)=0\end{cases}$
Эта замена ($x+1=-x^2$) расширяет набор корней уравнения
так как $-x^2$ также зависит от $x$.
Вы можете заменить $x+1=y$, например.
Еще пример, когда аналогичная замена дает аналогичные проблемы.
Пусть нам нужно решить $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$$
Мы получаем: $$\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)^3=x-1$$ или $$2x+1+x+1+3\sqrt[3]{2x+1}\cdot\sqrt[3]{x+1}\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)=x-1.$$ Теперь, поскольку $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1},$$ который может получить что-то плохое, получаем: $$3\sqrt[3]{(2x+1)(x+1)(x-1)}=-3-2x$$ или $$x(440x^2+630x+189)=0$$ и мы получили как один из вариантов $x=0$.
Легко увидеть, что $0$ не является корнем исходного уравнения, и это произошло
потому что мы использовали неправильную замену $\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$
Теперь нам нужно проверить, что все корни уравнения $440x^2+630x+189=0$ являются корнями исходного уравнения, что не так-то просто.
Если мы хотим избежать этих проблем, нам нужно использовать следующий идентификатор. $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$$
Все преобразования уравнения должны быть обратимыми. С участием$x=0$,
$$x^2+x+1=0\leftrightarrow x+1+\frac1x=0$$ Это хорошо.
Но объединение двух уравнений в одно $$\begin{cases}x+1=-\dfrac1x\\x+1=-x^2\end{cases}\leftrightarrow x^2=\frac1x$$ не является.