Правильные лифтинговые свойства по сравнению с относительными клеточными комплексами

Aug 17 2020

Итак, я изучал эти заметки по теории гомотопии. Есть предложение (2.10), которое утверждает, что для любого набора морфизмов$K \subset \mathrm{Mor}(C)$ коллекция KProj из $K$-проективные морфизмы и KInj $K$-инъективные морфизмы удовлетворяют следующим условиям

$\bullet$ Оба класса замкнуты относительно композиции, а KProj замкнут относительно трансфинитной композиции.

$\bullet$ Оба класса закрываются при формировании ретрактов в стрелочной категории $C$.

$\bullet$ KProj закрывается при формировании выталкиваний морфизмов в $C$ а KInj замыкается при образовании обратных морфизмов в $C$.

$\bullet$ KProj закрывается при формировании попутных продуктов в категории стрелки $C$ а KInj закрывается по формирующим продуктам в стрелочной категории $C$.

Как следствие такого предложения мы имеем:

Позволять $C$ - категория со всеми малыми копределами, и пусть K⊂Mor ($C$) - подкласс его морфизмов. Тогда каждый K-инъективный морфизм обладает свойством правого подъема в отношении всех K-относительных клеточных комплексов и их ретрактов.

Проблема в том, что я не понимаю, почему следует это следствие, я пробовал использовать универсальные свойства выталкивания в трансфинитной композиции клеточного комплекса, но это, похоже, не работает, возможно, я просто чего-то не вижу ? Любая помощь приветствуется.

Ответы

4 ZhenLin Aug 18 2020 at 03:06

Каждый морфизм в $K\textrm{-Inj}$ имеет право подъема собственности в отношении $K$. Рассматривать$(K\textrm{-Inj})\textrm{-Proj}$. Каждый морфизм в$K\textrm{-Inj}$ имеет право подъема собственности в отношении $(K\textrm{-Inj})\textrm{-Proj}$, и $K \subseteq (K\textrm{-Inj})\textrm{-Proj}$. В предложении говорится$(K\textrm{-Inj})\textrm{-Proj}$закрывается при выталкивании, ретракции и трансфинитной композиции. Утверждение следует.