Преобразование предварительного распределения в вывод для биномиального параметра N

Question

Я борюсь с вопросом 6 в Упражнениях к главе 3 (стр. 80) Байесовского анализа данных Эндрю Гельмана.

http://www.stat.columbia.edu/~gelman/book/BDA3.pdf

У нас есть данные Y, смоделированные как независимые биномиальные данные, причем оба $N$ и $θ$ неизвестно, согласно статье Рафтери 1988 г. «Вывод для биномиального параметра N: иерархический байесовский подход».

$Y∼Bin(N,θ)$ и

$N∼Poisson(μ)$, где $λ=μθ$

(Неинформативное) предварительное распределение $λ,θ$ является $p(λ,θ) \propto λ^{-1}$

Вопрос 6 (а) просит вас преобразовать, чтобы определить$p(N,θ)$.

Это похоже на следующий вопрос, но я не смог использовать его, чтобы найти ответ.

Байесовский подход: вывод N и $\theta$ значения из биномиального распределения

Answer 1

Вот что у меня получилось (я в этом не очень уверен). Я думаю, что в этом упражнении$N$должен следовать распределению Пуассона со случайным ожиданием$\mu$. Совместное (неправильное) распределение$\mu, \theta$ определяется на преобразовании $(\lambda = \mu \theta, \theta)$ от $$p(\mu, \lambda) \propto 1/\lambda .$$ Чтобы получить совместное распространение $(\mu, \theta)$ вам нужно будет использовать тот факт, что $$p(\mu, \theta) = p(\lambda, \theta) \mid\det\frac{\partial(\lambda, \theta)}{\partial(\mu, \theta)}\mid$$

Вот, $\mid\det\frac{\partial(\lambda, \theta)}{\partial(\mu, \theta)}\mid = \theta$ такое, что неправильное распределение $(\mu, \theta)$ является $p(\mu, \theta) \propto 1 / \mu$ так что приор: $$\begin{array}{lcl} p(\mu) &\propto & 1 / \mu\\ N & \sim & \mathcal{P}(\mu) \\ \theta & \sim & \mathcal{U}([0, 1]) \end{array}$$