Путаница вокруг алгебры уравнения отражения

Question

Я встречал несколько случаев так называемой алгебры уравнений отражения (REA), но в зависимости от того, где я их нахожу, я чувствую, что получаю немного разные объекты. Во всех случаях за фоном скрывается квазитреугольная алгебра Хопфа. В дальнейшем$V$ всегда будет векторным пространством размерности $n$. Вот список различных случаев, с которыми я столкнулся:

1. Позволять $H$ - квазитреугольная алгебра Хопфа с $R \in H \otimes H$ его универсальный $R$-матрица (здесь, возможно, есть доработки, но это не имеет особого значения). Алгебра отражений тогда как векторное пространство является ограниченным двойственным$H^\circ$. Это подалгебра полного дуального, натянутая на так называемые матричные коэффициенты. Структура алгебры происходит от структуры алгебры полной двойственной, но скрученной универсальным$R$-матрица. Я думаю, это иногда называют плетеным двойником$H$. См., Например, определение 4.12 изhttps://arxiv.org/pdf/math/0204295.pdf

2. Позволять $R: V \otimes V \rightarrow V \otimes V$ быть эндоморфизмом $V \otimes V$удовлетворяющие уравнению Янга-Бакстера. Тогда алгебра уравнения отражения, если алгебра, порожденная элементами$(a_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}$ с отношением $$RA_1RA_1 = A_1RA_1R$$ где $A$ это матрица $n \times n$ имея порождающие элементы в качестве коэффициентов и $A_1 = A \otimes Id$. Я думаю, что здесь генерирующие элементы в некоторой степени считаются элементами$V^{\ast} \otimes V$. Это было обнаружено в самом начале внедренияhttps://arxiv.org/pdf/1806.10219.pdf

3. Это особый пример. Здесь скрывается алгебра Хопфа.$U_q(\frak{sl_2})$ и $R$-матрица задается $$ \begin{pmatrix} q & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & q-q^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0& q \end{pmatrix}.$$ В данном случае это алгебра, порожденная элементами $(a_{ij})_{1 \leq i,j \leq 2}$ с отношением: $$R_{21}A_1RA_2 = A_2R_{21}A_1R$$ а также $$ a_{11}a_{22}- q^2a_{12}a_{21} = 1.$$ Эту алгебру часто обозначают $\mathcal{O}_q(SL_2)$ или иногда $\mathcal{O}(Rep_q(SL_2))$. Это выглядело как Пример 1.23 вhttps://arxiv.org/pdf/1908.05233.pdfа также как определение 2.1. вhttps://arxiv.org/pdf/1811.09293.pdf (обратите внимание на сноску, чтобы вернуть то, что я написал).

Я вижу, как некоторые из них связаны, например, третье - это почти частный случай второго, но есть еще одно отношение.

В первом можно думать, что элементы матрицы находятся в $W^{\ast} \otimes W$ для любого представительства $W$ из $H$. В случае, когда любое конечномерное представление$H$ можно рассматривать как подпредставление тензорного произведения стандартного представления $V$, то фактически он генерируется только матричными коэффициентами из $V$Это очень похоже на то, что мы имеем в 2). Тем не менее, отношение a все еще отсутствует, если мы специализируемся на случае$H = U_q(\frak{sl2})$получить то же, что и в 3). А что, если есть представление$H$ что не является подпредставлением тензорного произведения стандартного?

ВОПРОС: Все это на самом деле одно и то же или я что-то упускаю? Я немного смущен тем, что люди на самом деле называют алгеброй уравнений отражения. Есть ли какое-нибудь хорошее определение для любой квазитреугольной алгебры Хопфа?$H$ что захватывает все вышеперечисленные "примеры"?

Answer 1

1. Единственное разумное определение REA, связанного с квазитреугольной алгеброй Хопфа, - 1). Это, конечно, несколько абстрактное определение, но оно дает решение RE, которое является универсальным в точном смысле.
2. напоминает так называемую постройку Фаддеев-Решетихин-Тахтаджан (обычно сокращенно ФРТ). Его главное преимущество состоит в том, что он не требует наличия алгебры Хопфа для начала (скорее, в исходной конструкции FRT цель состояла в том, чтобы создать алгебру Хопфа, исходя из произвольного решения QYBE). Даже если$R$ происходит из квазитреугольной алгебры Хопфа, он не даст того же ответа, что и 1), за исключением случая $U_q(\mathfrak{gl}_n)$ (даже тогда это не совсем так, получается некоторая деформация $\mathcal O(\mathfrak{gl}_n)$ скорее, чем $\mathcal O(GL_n)$). В общем будет карта от 2) до 1).
3. С другой стороны, как вы говорите, вы можете запустить эту конструкцию в случае $V$есть представление, которое порождает все остальные. Действительно, этот подход полезен для нахождения представления REA, поскольку оно действительно генерируется матричными коэффициентами: грубо говоря, это даст вам набор генераторов, но не все отношения в целом. Вот что происходит здесь: если вы запустите FRT-подобную реконструкцию для R-матрицы$\mathfrak{sl}_n$ вы получаете некоторую алгебру, но затем вам нужно добавить это дополнительное отношение, которое вы упомянули, которое, как вы, вероятно, знаете, не что иное, как $q$-аналог $\det(A)=1$. Опять же, это уже проявляется в исходной ситуации, см. Определение 4 вhttp://math.soimeme.org/~arunram/Resources/Reshetikhin/QuantizationOfLieGroupsAndLieAlgebras.html.

Править Полезно подумать об универсальных свойствах: 1) универсален для алгебр$A$ с раствором УЭ в $A\otimes H$, а 2) универсален для алгебр $A$ с раствором УЭ в $A\otimes End(V)$. Конечно, составляя карту алгебры$H\rightarrow End(V)$ данный действием $H$ на $V$ каждое решение первого уравнения дает решение второго, поэтому применив это к случаю $A$ является самим REA, вы получаете отображение алгебры, построенной в 2), в алгебру, построенную в 1).

Answer 2

Позвольте мне прежде всего отметить, что матрица отражения, которую вы обозначили $A$, часто называют K-матрицей, ср ее графическое представление с | «стена» и «мировая линия» частицы, отскакивающей от стены. Графическую форму уравнения можно найти уже в Череднике, Факторизация частиц на полупрямой и корневых системах (1984).https://link.springer.com/article/10.1007/BF01038545. Обозначение$K$может быть связано с Скляниным, Граничные условия для интегрируемых квантовых систем (1988),https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0305-4470/21/10/015.

Отражения (уравнение) алгебра является отражением-аналог уравнения Янга - алгебры Baxter: к любому выбору конечно-мерное векторное пространство и Р-матрица , повинуясь Янга - уравнение (Baxter и другие подходящие свойства, такие как плетение унитарностью и «начальное условие») можно связать унитальную ассоциативную алгебру, порожденную операторнозначными (некоммутативными) элементами K-матрицы, подчиняющейся уравнению отражения.

Если бы заменить отражение (`$RKRK$') уравнение $RLL$-уравнение один вместо этого приводит к алгебре Янга - Бакстера, которая является операторной алгеброй, тесно связанной с FRT (или R-матричным) представлением квантовых аффинных алгебр.

По поводу 3: презентация FRT ничего не говорит о квантовом детерминанте, поэтому, чтобы получить $SL_n$ вам нужно наложить $qdet = 1$ отдельно, что является вашим последним уравнением в 3. Приведенную вами версию уравнения отражения иногда можно упростить: предположим, что R-матрица симметрична в том смысле, что $P R P = R$ с участием $P$перестановка. потом$R_{21} = R_{12}$в обычных обозначениях тензорных ног. В таких случаях все R-матрицы в уравнении отражения можно записать, используя только$R$. (Графически необходимость в$R_{21}$ все же ясно.)

Касательно 2: Эти авторы работают с косой версией R-матрицы, часто обозначаемой $\check{R}$. А именно, предположим, что$R$ подчиняется YBE

$$ R_{12}(u,v) \ R_{13}(u,w) \ R_{23}(v,w) = R_{23}(v,w) \ R_{13}(u,w) \ R_{12}(u,v) \ , $$

где я предположил, что R-матрица может зависеть от спектрального параметра, связанного с каждой копией вспомогательного пространства в целом. (Это для аффинного случая, но помогает выделить структуру уравнения.) Тогда оба из$P \ R$ и $R \ P$ подчиняться косой версии YBE

$$ \check{R}_{12}(u,v) \ \check{R}_{23}(u,w) \ \check{R}_{12}(v,w) = \check{R}_{23}(v,w) \ \check{R}_{12}(u,w) \ \check{R}_{23}(u,v) \ . $$

Всегда нужно проверять, какая версия используется. В статье, которую вы цитируете в разделе 2, это последнее, поэтому оба$A$s имеют тот же нижний индекс.

К вопросу 1: Я считаю, что правильная алгебраическая интерпретация конструкции Скляниным представлений K-матрицы как двухстрочной матрицы монодромии, построенной из K-матрицы со скалярными элементами и L-оператором, представляет собой коидеальную подалгебру , см. Колб, Стокман, Алгебры уравнений отражения, коидеальные подалгебры и их центры ,https://arxiv.org/abs/0812.4459.

Вас также может заинтересовать недавняя статья Аппеля и Влаара, Универсальные k-матрицы для квантовых алгебр Каца-Муди ,https://arxiv.org/abs/2007.09218