Рамануджана $\sqrt{\frac{\pi e}{2}}$ формула [дубликат]

Question

Следующая личность принадлежит Рамануджану :

$$\DeclareMathOperator{\k}{\vphantom{\sum}\vcenter{\LARGE K}} \sqrt{\frac{\pi e}{2}}=\frac{1}{1+\k_{n=1}^\infty \frac{n}{1}}+\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)!!}$$ или же $$\sqrt{\frac{\pi e}{2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{\vdots}}}}+1+\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5}+\cdots $$

Меня интересует подтверждение этой личности, но мне не удалось найти никакой ссылки, кроме связанной страницы.

Answer 1

Как указано на связанной странице, достаточно доказать

$$ 1+\dfrac{1}{1+\dfrac{2}{1+\dfrac{3}{1+\ddots}}} = \sqrt{\frac{2}{\pi e}} \frac{1}{\operatorname{erfc}(1/\sqrt{2})}. \tag{1} $$

Для этого воспользуемся стандартной теорией непрерывной дроби. Определить$(p_n)$ и $(q_n)$ следующим соотношением:

$$ \begin{pmatrix} p_n \\ q_n \end{pmatrix} = A_1A_2\dots A_n \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad\text{where}\quad A_n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. $$

Затем обычно проверяют, что

\begin{align*} p_0 &= 1, & p_1 &= 1, & p_{n+2} &= p_{n+1} + (n+1) p_n, \\ q_0 &= 0, & q_1 &= 1, & q_{n+2} &= q_{n+1} + (n+1) q_n. \end{align*}

Более того, если $f_A(z) = \frac{a_{11}z+a_{12}}{a_{21}z+a_{22}}$ обозначает дробно-линейное преобразование, индуцированное $2\times2$ матрица $A=[a_{ij}]_{1\leq i,j\leq 2}$, то имеем:

$$ \frac{p_n}{q_n} = f_{A_1\dots A_n}(\infty) = (f_{A_1}\circ\dots\circ f_{A_n})(\infty) = 1+\dfrac{1}{1+\dfrac{2}{\ddots+\dfrac{\ddots}{1+\dfrac{n-1}{1}}}} $$

Стандартная теория также утверждает, что это сходится как $n\to\infty$. Поэтому достаточно вычислить предел как$n\to\infty$. Для этого обратите внимание, что оба$p_n$ и $q_n$ увеличиваются и расходятся $\infty$. Более того, если ввести экспоненциальные производящие функции$(p_n)$ и $(q_n)$ по

$$ y_p (x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{p_n}{n!}x^n \quad\text{and}\quad y_q (x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{q_n}{n!}x^n, $$

тогда они удовлетворяют

$$ y_p' = (1+x)y_p \quad\text{and}\quad y_q' = 1 + (1+x)y_q. $$

Эти уравнения вместе с начальными условиями $y_p(0) = p_0 = 1$ и $y_q(0) = q_0 = 0$, решается методом интегрирующих множителей, и получаем

$$ y_p(x) = e^{x+\frac{x^2}{2}} \quad \text{and} \quad y_q(x) = e^{x+\frac{x^2}{2}}\sqrt{\frac{\pi e}{2}} \left( \operatorname{erf}\left(\frac{1+x}{\sqrt{2}}\right) - \operatorname{erf}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right). $$

Теперь, применяя стандартный аргумент абелевой теоремы,

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{p_n}{q_n} = \lim_{x\to\infty} \frac{y_p(x)}{y_q(x)} = \sqrt{\frac{2}{\pi e}} \frac{1}{\operatorname{erfc}\left(1/\sqrt{2}\right)} $$

как требуется.