Различие между внутренним продуктом двойного пространства и внутренним продуктом, по отношению к которому представление является унитарным
Каждое векторное пространство $|\vec{v}\rangle$ над полем $\mathbb{R}$ или же $\mathbb{C}$ содержит двойное пространство, и поэтому, если мы проводим идентификацию между элементами в двойном пространстве и исходном векторном пространстве, кажется, что каждое векторное пространство естественным образом оснащено внутренним продуктом, называемым внутренним продуктом двойного пространства.
Например, в квантовой теории поля у нас есть представление группы Пуанкаре, где наше векторное пространство можно обозначить как $|p^{\mu},\sigma\rangle$ где $\sigma$обозначает индексы малых групп. Без каких-либо физических предположений мы можем сказать, что существует пространство, двойственное этому пространству, и что это дает начало внутреннему продукту в нашем исходном векторном пространстве.$\langle p,\sigma|p',\sigma'\rangle=\delta(p-p')\delta_{\sigma\sigma'}$. Теперь это АН скалярный продукт, но не обязательно скалярный продукт, относительно которого унитарно представление группы Пуанкаре.
Вопрос : Правильно ли я говорю, что для многочастичных состояний внутренним продуктом двойного пространства является \ begin {Equation} \ langle \ lbrace p, \ sigma \ rbrace | \ lbrace p ', \ sigma' \ rbrace \ rangle = \ sum _ {\ text {все возможные пары штримованных состояний с незаштрихованными состояниями}} \, \, \, \, \ prod _ {\ text {pair}} \ delta (p_i-p_ {i ^ {'}}') \ delta _ {\ sigma_i \ sigma_ {i '}'} \ end {формула}, тогда как есть другой, отдельный внутренний продукт, заданный амплитудой: \ begin {Equation} \ langle \ lbrace p, \ sigma \ rbrace | \ lbrace p ', \ sigma '\ rbrace \ rangle = \ delta (\ sum p - \ sum p') \ mathcal {M} (\ lbrace p, \ sigma \ rbrace, \ lbrace p ', \ sigma' \ rbrace) \ end {уравнение}Мы хотим, чтобы представление группы Пуанкаре было унитарным по отношению к обоим внутренним продуктам. TL; DR: Являются ли внутренний продукт двойного пространства и внутренний продукт, по отношению к которому мы хотим, чтобы наше представление было единым, отличными?
Ответы
Идентификация между двойным пространством и исходным пространством полностью эквивалентна выбору внутреннего продукта. Есть бесконечно много способов идентифицировать$V$ с участием $V^*$, поэтому существует бесконечно много возможных внутренних продуктов.
Вы можете подумать, что на основании ${\bf e}_a$ за $V$ и двойная основа ${\bf e}^{*a}$за $V^*$ такой, что ${\bf e}^{*a}({\bf e}_b)=\delta^a_b$, вы можете естественным образом идентифицировать ${\bf e}_a$ с участием ${\bf e}^{*a}$. Вы, конечно, можете это сделать, но существует бесконечно много вариантов базиса, и каждый из них дает различную идентификацию и свой внутренний продукт. В квантовой механике мы делаем выбор внутреннего продукта путем выбора антилинейной карты кинжала.$\dagger :V\to V^*$ в котором $\dagger: |n\rangle \mapsto (|n\rangle)^\dagger =\langle n|$. Выбрав определение "$|p\rangle$"(импульс) базис с его двойственностью, ваш рецепт делает особый выбор внутреннего продукта.
Я думаю, что вместо того, чтобы говорить о внутреннем продукте двойного пространства , вы должны говорить о внутреннем продукте двойного базиса .
Вы можете проверить это \begin{align} \hat {\cal L}_z= -i\frac{d}{d\varphi}\, ,\quad \hat {\cal L}_+= -e^{i\varphi}\left(\lambda\mathbb{I}+i\frac{d}{d\varphi}\right)\, ,\quad \hat {\cal L}_-= -e^{-i\varphi}\left(\lambda\mathbb{I}-i\frac{d}{d\varphi}\right)\, . \tag{1} \end{align} удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и $\hat L_z, \hat L_\pm$. Предположим, что операторы в (1) действуют на функции вида$f_m(\varphi)=e^{i m\varphi}/\sqrt{2\pi}$.
«Натуральный» внутренний продукт - это $\langle{m}\vert{m'}\rangle= \int d\varphi \, e^{-i m\varphi}e^{i m'\varphi}/(2\pi)$ но если вы воспользуетесь этим, вы обнаружите, что матричное представление $\hat {\cal L}_x$ и $\hat{\cal L}_y$ действуя на государства $f_{m}(\varphi)$ не являются эрмитовыми матрицами, поэтому не возводятся в степень до унитарного представления.
Другими словами, нет никаких оснований полагать, что естественный «внутренний продукт» состояний будет производить унитарное представление.
Нетрудно испытать неудобство с (1), поскольку "обычное" представление дифференциальными операторами действует не на 1-торе, а на $S^2/U(1)$(сферические гармоники); интуитивно странно иметь своего рода координатное представление$SU(2)$ в зависимости только от одного угла.
В случае компактной группы (например, $SU(2)$выше), вы можете сказать, что матричное представление (1) эквивалентно (посредством преобразования подобия) унитарному. Существуют систематические способы поиска преобразований подобия. В случае некомпактных групп такую эквивалентность установить более тонко.
Я думаю, что следующий пример показывает, что я прав в том, что внутренний продукт, относительно которого представление группы должно быть унитарным, не обязательно совпадает с внутренним продуктом двойного пространства, но я все же буду признателен за обратную связь.
Рассмотрим $(\frac{1}{2},0)$ представление $SL(2,\mathbb{C})$. Это действует в пространстве двумерных комплексных векторов$\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}$. Теперь это векторное пространство естественным образом сопряжено с двойственным пространством$(a^{\star},b^{\star})$и, следовательно, у нас есть внутренний продукт в нашем исходном векторном пространстве как \ begin {Equation} \ bigg (\ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix}, \ begin {pmatrix} c \\ d \ end {pmatrix} \ bigg) _ {\ text {Внутренний продукт с двойным пространством}} = ac ^ {\ star} + bd ^ {\ star} \ end {Equation} Теперь представление не унитарно по отношению к этому внутреннему продукту, потому что, например, в по некоторым соглашениям элементы алгебры Ли, связанные с повышениями, неэрмитовы. Однако в этом векторном пространстве существует скалярное произведение, которое является унитарным, а именно определитель двух векторов \ begin {Equation} \ bigg (\ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix}, \ begin {pmatrix} } c \\ d \ end {pmatrix} \ bigg) _ {\ text {Детерминантный внутренний продукт}} = ad ^ {\ star} -bc ^ {\ star} \ end {уравнение} Итак, внутренний продукт, против которого унитарное представление не обязательно должно совпадать со скалярным продуктом двойственного пространства.
Изменить 1: Ввиду ответа Майка Стоунса можно исправить то, что я сказал, следующим образом. Можно рассматривать детерминантный внутренний продукт как внутренний продукт двойного пространства, если выбрать ассоциацию между векторным пространством и двойственным пространством следующим образом: \ begin {Equation} \ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix} \ rightarrow \ bigg (b ^ {\ star}, - a ^ {\ star} \ bigg) \ end {уравнение}