Решение $\sqrt{9-x^2} > x^2 + 1$ без графического калькулятора для точной формы

Question

Есть ли способ решить это неравенство без использования графического калькулятора для получения точной формы?

$$\sqrt{9-x^2} > x^2 + 1$$

Я пробовал завершить квадрат, но в итоге получаю $$\frac{3 - \sqrt{41}}{2} < x^2 < \frac{3 + \sqrt{41}}{2}$$ что не совпадает с ответом на Desmos.

Answer 1

$$9-x^2>x^4+2x^2+1$$ $$x^4+3x^2-8<0$$ $$\left(x^2+\frac32 \right)^2 < 8+\frac94$$

$$\left(x^2+\frac32 \right)^2< \frac{41}4$$

$$0\le x^2<\color{red}-\frac32 + \frac{\sqrt{41}}2$$

Теперь ваш ответ должен совпадать.

Answer 2

Подсказка:

• Если $A>B>0$ тогда $A^2>B^2$. Применить это к$\sqrt{9-x^2}>x^2+1$.
• Так как $x^2+1$ всегда положительно тогда $9-x^2>0$.

Оба должны быть удовлетворены. Значит тебе нужно$\cap$ для пересечения множеств решений из обоих случаев.

Подсказка расширена.

\ begin {gather} 9-x ^ 2> x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1 \\ x ^ 4 + 3x ^ 2-8 <0 \\ (x ^ 2- \ frac {-3+ \ sqrt {41 }} {2}) (x ^ 2- \ frac {-3- \ sqrt {41}} {2}) <0 \ end {gather}

что должно быть пересечено с

\ begin {gather} 9-x ^ 2> 0 \\ x ^ 2 <9 \ end {gather}

Решение $x^2< \frac{-3+\sqrt{41}}{2}$ или $$-\sqrt{\frac{-3+\sqrt{41}}{2}}<x< \sqrt{\frac{-3+\sqrt{41}}{2}}$$