Роль монотонности в последовательностях ограниченной вариации.

Question

Напомним, что; Последовательность$\left\{x_{n}\right\}$ действительных чисел называется ограниченной вариацией, если $$ \sum_{k=2}^{\infty}\left|x_{k}-x_{k-1}\right| $$ Сходится.

Мы знаем, что сходящаяся последовательность не обязательно должна быть последовательностью ограниченной вариации, взяв $x_n=\frac{1}{n}$ даже для $n$ а также $0$ для нечетных $n$. Но как насчет монотонных сходящихся последовательностей? Являются ли они последовательностями ограниченной вариации? Если да, то как это доказать?

Answer 1

Подсказка: если $\{x_n\}$ повышается,

$$\sum_{k=2}^n |x_k - x_{k-1}| = \sum_{k=2}^n x_k - x_{k-1} = x_n - x_1.$$