Сдвиги парадигм в математике [закрыто]
В физике произошло несколько явных революций или сдвигов парадигм, которые коренным образом изменили эту область. Одним из примеров является коперниканская революция и всеобъемлющий переход от птолемеевых взглядов к гелиоцентрическим.
Учитывая, что математика основана на аксиомах, я полагал, что неправильные предположения вряд ли войдут в канон этой области. Кроме того, во время моего математического образования (как физика) я чувствовал, что математика довольно непрерывно развивалась от греков до сегодняшнего дня, всегда добавляя новые знания к старым.
Поэтому мой вопрос: было ли это неправильно и произошли ли определенные сдвиги парадигм или радикальные переосмысления предыдущих результатов в истории математики, или это был непрерывный рост знаний?
Дополнение
Уже был этот вопрос, требующий философских сдвигов в математике. Однако я подумал, что это отличается от этого, поскольку я пытаюсь понять, росла ли совокупность математических знаний линейно или в определенные моменты была прерывистой.
Ответы
Я полагаю, мы могли бы отличить «революции», которые хоронят своих мертвецов (так сказать), от «смены парадигмы» (когда игра продолжается, а работа, выполненная в старом стиле, не исключается, но уже не выглядит интересной или важной для продолжения).
Я полагаю, что когда-то считалось, что переработка анализа без бесконечно малых величин в 19 веке была революцией, которая вытеснила ложь / несогласованность (вот почему разновидности нестандартного анализа, которые реабилитировали бесконечно малые - вроде! - стали интригующим сюрпризом для сотни людей). и что-то спустя годы). Развитие теории множеств было революцией, показав, что можно иметь связную теорию («завершенных бесконечностей») там, где раньше считалось, что может существовать только ложь / непоследовательность.
Но такие случаи, безусловно, являются исключением (по крайней мере, в математике). Смена парадигмы не требует предположения, что то, что было сделано раньше, неправильно . Скорее, вводятся новые концепции, могут возникать новые проблемы, новые подходы становятся особенно интересными / полезными; новые образцы стали рассматриваться как парадигмы, которым следует подражать, и как устанавливающие стандарты, по которым оцениваются решения проблем. Например, развитие абстрактной алгебры в прошлом веке может показаться парадигмальным примером такого рода смены парадигмы ...!
Математика - это не аксиоматическая дисциплина. Один из способов открытия новой области - это, как правило, обнаружение примеров, которые имеют что-то общее и которые, кажется, указывают на новую теорию.
Взять, к примеру, гомологию. Это было аксиоматизировано Эйленбергом и Стинродом. Но если бы люди не открыли числа Бетти, не открыл бы Пуанкаре гомологию и не указал бы Нётер, что числа Бетти лучше рассматривать как группы, то не было бы чего аксиоматизировать.
Гильберт говорит более или менее то же самое в своей работе « Геометрия и воображение», где он классифицирует дедуктивное мышление, то есть мышление, происходящее от аксиоматической формы более низкого порядка, чем индуктивное мышление, которое он классифицирует как истинную форму научного мышления.
Лично для меня ключевым сдвигом парадигмы стало введение теоретико-категориального мышления в математику, которое также демонстрирует непрерывность мышления. Например, треугольник был обнаружен рано, добавив направления к сторонам, у нас есть закон сложения векторов, а затем, допустив искривление сторон, мы можем рассматривать их как теоретико-категориальные стрелки. Это также показательно: мы можем думать о них как о неевклидовых векторах и в пространстве длины, где между любыми двумя точками есть уникальная геодезическая, мы можем поднять направленные геодезические в такой вектор.