Семейство функций с $f(0) = 0$ и $f(\mathbb{D}) \cap [1,2] = \emptyset$ это нормально
У меня следующий вопрос
Позволять $B$ быть набором функций $f$, аналитические на единичном круге $\mathbb{D}$ и удовлетворить оба $f(0) = 0$ и $f(\mathbb{D}) \cap [1,2] = \emptyset$. Докажи это$B$ это нормальная семья.
В моем ответе есть пара частей, в которых я не уверен.
Рассмотрим переведенную семью $g(z) = f(z) - 1$ который принимает значения в $\mathbb{C} - [0,1]$. поскольку$g(\mathbb{D})$ односвязна и отлична от нуля, мы можем определить однозначные аналитические ветви $\sqrt{g(z)}$ в $g(\mathbb{D})$. Как только мы извлечем квадратный корень, все значения$\sqrt{g(z)}$содержатся в полуплоскости, где линия, разделяющая полуплоскости, содержит начало координат. Тогда после возможного поворота можно считать, что$\sqrt{g(\mathbb{D}})$содержится в левой полуплоскости. Теперь я могу применить методы, использованные в этом ответе.$\mathcal{F} \subset \mathcal{H}(D(0,1))$ с участием $Re f>0$ и $f(0)=1$нормальная семья, чтобы показать, что переведенная семья (следовательно,$B$) нормальная семья.
Я не уверен в одном: могу ли я сказать, что все ценности $\sqrt{g(z)}$содержатся в полуплоскости, где линия, разделяющая полуплоскости, содержит начало координат. Это кажется правдой, но я не уверен. Кроме того, я не использую в полной мере факт$f(\mathbb{D}) \cap [1,2] =\emptyset$ поскольку мне действительно нужно только $f(\mathbb{D}) \cap \{1\} = \emptyset$.
Будем очень признательны за любые комментарии или предложения.
Ответы
Ваша идея не совсем работает, и то, что вы не использовали предположение о том, что невырожденный интервал был оставлен за пределами диапазона, должно служить предупреждающим знаком (но, конечно, само по себе это не доказательство того, что аргумент не может работать. ).
Чтобы увидеть это $f(\mathbb{D}) \cap \{1\} = \varnothing$ не подразумевает нормальность семьи рассматривает функции $$f_k(z) = 1 - e^{kz}$$ за $k \in \mathbb{N}$. У нас есть$f_k(\mathbb{C}) \cap \{1\} = \varnothing$ для всех $k$, и $f_k(0) = 1 - 1 = 0$. Но$f_k(z)$ сходится локально равномерно к $\infty$ в правой полуплоскости и локально равномерно сходится к $1$в левом полуплоскости. Последовательность не сходится локально равномерно в любой точке мнимой оси.
Первая ошибка в вашем аргументе - это утверждение, что $g(\mathbb{D})$просто связано. Этого не должно быть, например$$g(z) = -\exp \biggl(\frac{1 + z}{1-z} - 1\biggr)\,,$$ где $g(\mathbb{D})$ является дополнением (в плоскости) небольшого диска вокруг $0$. Простая связность$\mathbb{D}$ гарантирует существование голоморфного квадратного корня $\sqrt{g(z)}$, но изображение этого все еще может быть $\mathbb{C}\setminus \{0\}$.
Но основная идея использовать квадратный корень для получения семейства голоморфных функций с изображением, содержащимся в одной полуплоскости, работает, просто нужно сделать это немного иначе.
Рассмотрим преобразование Мёбиуса $$T \colon w \mapsto 2\cdot\frac{w-1}{w-2}\,.$$ Это отображает закрытый интервал $[1,2]$ к $[-\infty, 0]$, и $T(0) = 1$.
Используя это, мы можем рассматривать семью $$\tilde{B} = \Biggl\{ z \mapsto \sqrt{2\cdot \frac{f(z) - 1}{f(z) - 2}} : f \in B\Biggr\}$$ где используется главная ветвь квадратного корня.
В настоящее время, $\tilde{B}$- это просто семья, рассматриваемая в связанном вопросе, поэтому мы знаем, что это нормальная семья. Тогда остается вывести нормальность$B$От этого. (Если$(h_k)$ является локально равномерно сходящейся последовательностью, то $(F\circ h_k)$ также локально равномерно сходится при мягких условиях на $F$.)