Сеты Бореля и наборы Бэра
(1) Предположим, что у меня есть компактное хаусдорфово пространство $X$со счетной базой. Почему алгебра Бореля$\mathcal{B}(X)$ (в $\sigma$-поле, порожденное открытыми множествами) и алгеброй Бэра $\mathcal{B}a(X)$ (в $\sigma$-поле, порожденное компактом $G_\delta$наборы) равны? Где мне найти доказательства этого?
(2) Предположим теперь, что $X$имеет бесчисленную базу. В этом случае,$\mathcal{B}(X)$ и $\mathcal{B}a(X)$больше не совпадают, и я знаю, что рассмотрение множеств Бэра позволяет избежать некоторых патологий борелевских множеств. Что это за патологии? Кроме того, что может быть примером множества Бореля, которое не является Бэром?
Ответы
Чтобы в первом случае увидеть, что множества Бэра и множества Бореля совпадают, достаточно заметить, что порождающие множества для множеств Бэра (компактные $G_\delta$) всегда борелевские (компактность влечет замкнутость в хаусдорфовых пространствах), так что Бэр $\subseteq$Борель легко. И если$O$ открыто, мы можем записать его как счетное объединение компактных $G_\delta$ наборы, поэтому все открытые наборы находятся в Бэре $\sigma$-field, значит, все борелевские наборы тоже. (Второй счетный компакт Хаусдорфа влечет совершенно нормальность и т. Д.)
Чтобы узнать, что может пойти не так, посмотрите $X=\omega_1 + 1$что является компактным по Хаусдорфу, но не счетно вторым. В этом,$\{\omega_1\}$ замкнуто (так Борель), но не Бэра (Халмош доказывает в своей Теории меры, что компакт является Бэром, если он $G_\delta$а этот синглтон - нет). Мера Дьедонне на$X$является мерой Бореля , что не является правильным, но является регулярным , когда мы работаем над множествами Бэра. См. Книгу Халмоша или обширную работу Фремлина по топологической теории меры. Взятие наборов Бэра дает нам более чем достаточно наборов для интеграции и т. Д. И дает более точные меры с точки зрения свойств регулярности.