Симплектоморфизмы сохраняют гамильтоновы уравнения

Question

Позволять $(M_1,\omega_1)$, $(M_2,\omega_2)$ - симплектические многообразия и пусть $\psi:(M_1,\omega_1)\rightarrow (M_2,\omega_2)$- симплектоморфизм. Рассмотрим гамильтониан$H\in\mathcal{C}^\infty(M_2)$. Покажи, что кривая$t\mapsto \gamma(t)\in M_1$ решает уравнение Гамильтона для $\tilde{H}:=H\circ\psi$ $\iff$ Кривая $t\mapsto \psi\circ\gamma(t)\in M_2$ решает их для $H$.
Было бы здорово, если бы это получилось как следствие того, что$X_{H\circ\psi}=\psi^*(X_H)$.
Спасибо

Answer 1

Моя попытка.
Предложение 1.
Пусть$(M_1,\omega_1)$, $(M_2,\omega_2)$ - симплектические многообразия и пусть $\psi:(M_1,\omega_1)\rightarrow (M_2,\omega_2)$- симплектоморфизм. Пусть к тому же$H\in\mathcal{C}^\infty(M_2)$ гамильтониан с гамильтоновым векторным полем $X_H\in\Gamma(TM_2)$.
потом$\psi^*(X_H)$ гамильтоново векторное поле относительно гамильтониана $\tilde{H}:=H\circ\psi\in\mathcal{C}^\infty(M_1)$, то есть \ begin {уравнение} \ label {ciao} X_ {H \ circ \ psi} = \ psi ^ * (X_H). \ end {уравнение}

доказательство \ begin {уравнение *} d (H \ circ \ psi) = d (\ psi ^ * H) = \ psi ^ * dH = - \ psi ^ * \ left (i_ {X_H} \ omega_2 \ right) = - i _ {\ psi ^ * X_H} \ psi ^ * \ omega_2 = -i _ {\ psi ^ * X_H} \ omega_1, \ end {формула *}, поэтому$\psi^*X_H$ - единственное гамильтоново векторное поле относительно $H\circ\psi$.

Следствие 1.
$X_{H\circ\psi}$ а также $X_H$ находятся $\psi$-связанные с

Доказательство.Мы
можем явно заключить предложение 1, что означает, что$\forall p\in M_1$, $\forall h\in\mathcal{C}^\infty(M_1)$ \ begin {Equation} \ label {расширенные корреляционные гамильтоновы векторные поля} (X_ {H \ circ \ psi}) _ p (h) = (\ psi ^ * X_H) _p (h) = :( X_H) _ {\ psi ( p)} (h \ circ \ psi ^ {- 1}), \ end {Equation}, где мы развили обратную связь векторных полей через диффеоморфизмы. Теперь возьмите любой$p\in M_1$ а также $g\in\mathcal{C}^\infty(M_2)$, затем \ begin {уравнение} \ label {первые связанные векторные поля} \ left [T_p \ psi ((X_ {H \ circ \ psi}) _ p) \ right] (g) = (X_ {H \ circ \ psi} ) _p (g \ circ \ psi); \ end {уравнение} примените первое уравнение с$h:=g\circ \psi$, тогда у нас есть \ begin {уравнение *} \ left [T_p \ psi ((X_ {H \ circ \ psi}) _ p) \ right] (g) = (X_H) _ {\ psi (p)} (g \ Circ \ psi \ circ \ psi ^ {- 1}) = (X_H) _ {\ psi (p)} (г). \ end {Equation *} Поскольку это верно для каждого$g\in\mathcal{C}^\infty(M_2)$, мы заключаем, что \ begin {уравнение *} \ left [T_p \ psi ((X_ {H \ circ \ psi}) _ p) \ right] = (X_H) _ {\ psi (p)} (g \ circ \ psi \ circ \ psi ^ {- 1}) = (X_H) _ {\ psi (p)}, \ end {уравнение *}, что в точности означает, что$X_{H\circ\psi}$ а также $X_H$ находятся $\psi$-связанные с.

Предложение 2.
Пусть$F:M\rightarrow N$ - гладкое отображение между многообразиями, и предположим, что $X\in\Gamma(TM)$, $Y\in\Gamma(TN)$ находятся $F$-связанные векторные поля. потом$F$ принимает интегральные кривые $X$ интегральным кривым $Y$.

Доказательство
пусть$\gamma:\mathcal{I}\rightarrow M$ быть интегральной кривой $X$, мы должны показать, что $\sigma:=F\circ\gamma$ является интегральной кривой $Y$: \ begin {уравнение *} \ dot {\ sigma} (t) = \ frac {d} {dt} (F \ circ \ gamma) (t) = T _ {\ gamma (t)} F (\ dot {\ гамма} (t)) = T _ {\ gamma (t)} F (X _ {\ gamma (t)}) = Y_ {F (\ gamma (t))} = Y _ {\ sigma (t)}. \ end {уравнение *}

Заключение
Симплектоморфизмы сохраняют уравнения Гамильтона.

Доказательство
Пусть$\psi$ - симплектоморфизм, то по следствию 1 мы видим, что гамильтоновы векторные поля $X_{H\circ\psi}$ а также $X_H$ связаны через $\psi$. Кроме того, по предложению 2$\psi$ отображает интегральные кривые в интегральные кривые $\psi$родственные векторные поля. Но интегральные кривые гамильтоновых векторных полей являются решениями уравнений Гамильтона, и поэтому$\psi$ сохраняет уравнения Гамильтона.

Answer 2

Поскольку вы упомянули Абрахама-Марсдена в качестве источника, вот несколько комментариев, которые, я думаю, вы найдете полезными (обозначения во многом идентичны тому, как они его используют). Вот более «обтекаемый подход» (по крайней мере, на мой взгляд), который находится на «уровне отображения», а не на «точечном уровне».

1. Надеюсь, вы понимаете, что заключение предложения 1 можно записать в виде $\psi^*(X_H) = X_{\psi^*H}$, что, конечно, делает его очень запоминающимся. Аналогично, заменив$\psi$ от $\psi^{-1}$, и используя тот факт, что $(\psi)_*:= (\psi^{-1})^*$ (т.е. проталкивание вперед - то же самое, что и обратное движение назад (по определению)), мы получаем $\psi_*(X_H) = X_{(\psi_*H)}$ (конечно, вам нужно переопределить, где все определено)

2. Напомним, что если $F:M \to N$ а также $X$ а также $Y$ векторное поле на $M$ а также $N$ соответственно, тогда мы говорим $X$ а также $Y$ находятся $F$-связанный, если $TF \circ X = Y \circ F$, и мы пишем $X\sim_F Y$; т.е. следующая диаграмма коммутирует$\require{AMScd}$ \ begin {CD} TM @> TF >> TN \\ @A {X} AA @AA {Y} A \\ M @ >> F> N \ end {CD} Наконец, напомним определение отката векторного поля (для этого требуется$F$ быть диффеоморфизмом): $F^*(Y):= TF^{-1}\circ Y \circ F$ (и обратите внимание, что $T(F^{-1}) = (TF)^{-1}$, так что просто напишите $TF^{-1}$не двусмысленно). Таким образом, следствие 1 легко доказать: \ begin {align} T \ psi \ circ X _ {\ psi ^ * H} & = T \ psi \ circ (\ psi ^ * X_H) \ tag {по предложению$1$} \\ & = T \ psi \ circ (T \ psi ^ {- 1} \ circ X_H \ circ \ psi) \ tag {по определению} \\ & = X_H \ circ \ psi \ end {align} Это точно говорит что$X_{\psi^*H} \sim_{\psi}X_H$ что два векторных поля $\psi$-связанные с.

3. Мы можем переписать доказательство предложения $2$следующим образом: \ begin {align} (F \ circ \ gamma) '& = TF \ circ \ gamma' \\ & = TF \ circ (X \ circ \ gamma) \\ & = (Y \ circ \ F) \ circ \ gamma \ tag {так как$X\sim_F Y$} \\ & = Y \ circ (F \ circ \ gamma) \ end {align} Это точно говорит о том, что$F\circ \gamma$ является интегральной кривой $Y$. Здесь я использую$\gamma'$ где вы используете $\dot{\gamma}$; это кривая в касательном расслоении$I\subset \Bbb{R}\to TM$