Смена направления интеграции

Question

Мне нужно изменить направление интеграла:

$$ \int_0^1 dy \int_{0.5y^2}^{\sqrt{3-y^2}} fdx$$

Насколько я знаю, сначала мне нужно найти формы:

$0.5y^2 = x$ и $\sqrt{3-y^2} =x$

Форма I - парабола: $y^2 = 2x$
Форма II - круг $x^2 + y^2 = 3$ (радиус $\sqrt{3}$)

Итак, мы в основном рисуем горизонтальные стрелки от параболы к кругу, пока $0 \leq y \leq 1$.

То, что очень похоже на эту картинку:

Нам нужно нарисовать вертикальные линии, чтобы это выглядело так, но у нас есть 3 области:

1. Где мы попали в параболу (красный)
2. Где мы попали в линию $y=1$ (зеленый)
3. Где мы попали в круг (синий)

Итак, мой окончательный ответ:

$$ \int_0^{0.5} dx \int_0^{\sqrt{2x}} fdy + \int_{0.5}^{\sqrt{2}} dx \int_0^1 fdy + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} dx \int_0^{\sqrt{3-x^2}} fdy$$

Я прав до сих пор? Если нет, то как мне это исправить? Я чувствую себя застрявшим, так как не знаю, как продолжать ... Буду признателен за вашу помощь! Благодаря!

Answer 1

То, что вы сделали, правильно. Вы сделали.

Проверка вашей работы, $y=1$ пересекаться $0.5y^2=x$ в $x=0.5$. (это соответствует оранжевой области.$0.5y^2=x$ эквивалентно $y=\sqrt{2x}$ когда $y>0$.

Также, $y=1$ пересекаться $\sqrt{3-y^2}=x$ в $x=\sqrt2$. $\sqrt{3-y^2}=x$ эквивалентно $y=\sqrt{3-x^2}$ когда $y>0$.

Нижняя граница всегда $y=0$.

Вы также можете выразить это компактно как

$$\int_0^{\sqrt3}\, dx \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy$$

Дальнейшая оценка зависит от детализации $f$. Одним из возможных мотивов выполнения изменения порядка интеграла является то, что форма$f$ проще интегрировать в определенном порядке.

Замечание: В зависимости от вашего сообщества, некоторые пишут это как

$$\int_0^{\sqrt3} \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy \, dx$$